Determine a fração geratriz irredutível da dízima periódica 0,12(345).
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Determine a fração geratriz irredutível da dízima periódica 0,12(345).
- A) 4111/33300
- B) 4115/33333
- C) 4111/333000
- D) 2469/20000
- E) 823/6660
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique as partes da dízima 0,12(345). A parte não periódica (anteperíodo) é 12, com 2 algarismos. O período é 345, com 3 algarismos.
- Use o método algébrico. Seja x = 0,12345345... Multiplique por 100 para deslocar o anteperíodo: 100x = 12,345345... Multiplique por 100000 para deslocar anteperíodo e período: 100000x = 12345,345345...
- Subtraia as equações: 100000x - 100x = 12345,345... - 12,345... , ou seja, 99900x = 12333. Assim x = 12333/99900.
- Simplifique. Como 12333 = 3 x 4111 e 99900 = 3 x 33300, obtemos 4111/33300. Não há fator comum restante: 4111 não é divisível por 2, 3 nem 5, e 33300 = 2^2 x 3^2 x 5^2 x 37, e 4111 não é múltiplo de 37. Logo a fração é irredutível.
- Conclusão: a alternativa correta é A, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: B tem numerador e denominador que não correspondem ao cálculo (o denominador 33333 não segue a regra de 9 para o período e 0 para o anteperíodo). C tem o numerador certo, mas o denominador 333000 não corresponde a 99900 x 33300 dividido corretamente. D equivale a 0,12345, ignorando a repetição do período. E simplifica incorretamente, pois 823/6660 vale cerca de 0,12357, diferente de 0,12345345...
💡 Dica: Use a fórmula para transformar dízima periódica em fração e simplifique.
Alternativa por alternativa
Aplicando a fórmula da dízima periódica mista: \((12345 - 12) / (10^2 \cdot (10^3 - 1)) = 12333/99900 = 4111/33300\).
O aluno errou o numerador e o denominador ao montar a fração geratriz, sem seguir a regra de usar 9 para cada algarismo do período e 0 para cada algarismo do anteperíodo. Além disso, a soma ou subtração no numerador não foi feita corretamente.
Por que engana: Confundir a forma correta de transformar a dízima periódica em fração, resultando em um numerador ou denominador incorretos.
O aluno acertou a parte do numerador, mas montou o denominador incorretamente, com um zero a mais e sem a combinação correta de 999 e 00. Provavelmente aplicou a regra da dízima de forma apressada.
O aluno tratou a dízima como se fosse um decimal exato, lendo 0,12345 e ignorando que o período 345 se repete infinitamente. Ele não aplicou o método da fração geratriz para dízimas periódicas.
O aluno chegou a uma fração com valor aproximado, mas simplificou ou dividiu o numerador e o denominador de forma errada, pois 823/6660 não é equivalente a 4111/33300. Houve erro no cálculo ou na simplificação.
Raio-X da questão
fração geratriz, dízima periódica
avaliacao
dízimas periódicas · frações irredutíveis
Revisar conversão de dízimas periódicas em frações irredutíveis.
Confundir a forma correta de transformar a dízima periódica em fração, resultando em um numerador ou denominador incorretos.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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