Em relação ao plano cartesiano Oxy, é correto afirmar que as equações \( x^2 + y^2 - 4x = -3 \) e \( x^2 + y^2…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em relação ao plano cartesiano Oxy, é correto afirmar que as equações \( x^2 + y^2 - 4x = -3 \) e \( x^2 + y^2 - 4y = -3 \) representam [FUVEST 2025 - Questão 77] FUVEST - 2025
- A) duas circunferências com raios de mesma medida e que se interceptam em dois pontos.
- B) duas circunferências com raios de medidas diferentes e que se interceptam em dois pontos.
- C) duas circunferências que se interceptam em um único ponto.
- D) duas circunferências concêntricas e que não se interceptam.
- E) duas circunferências com centros distintos e que não se interceptam.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Completar quadrados na primeira equação. x^2 - 4x + y^2 = -3 fica (x - 2)^2 - 4 + y^2 = -3, ou seja, (x - 2)^2 + y^2 = 1. Essa é uma circunferência com centro C1 = (2, 0) e raio r1 = 1.
- Fazer o mesmo na segunda equação. x^2 + y^2 - 4y = -3 fica x^2 + (y - 2)^2 - 4 = -3, ou seja, x^2 + (y - 2)^2 = 1. Essa é uma circunferência com centro C2 = (0, 2) e raio r2 = 1.
- Comparar os raios. Os dois raios medem 1, portanto têm a mesma medida.
- Calcular a distância entre os centros. d(C1, C2) = raiz de ((2 - 0)^2 + (0 - 2)^2) = raiz de 8, que é aproximadamente 2,83.
- Comparar a distância com a soma dos raios. A soma dos raios é 1 + 1 = 2. Como 2,83 > 2, a distância entre os centros é maior que a soma dos raios, logo as circunferências são externas e não se interceptam.
- Conclusão. As circunferências têm raios iguais, centros distintos e não se interceptam, o que corresponde à alternativa E. O gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas: A afirma que elas se cruzam em dois pontos, mas a distância entre os centros é maior que a soma dos raios; B erra ao dizer que os raios são diferentes, pois ambos valem 1; C supõe tangência, o que exigiria distância igual a 2; D supõe centros coincidentes, mas os centros (2, 0) e (0, 2) são distintos.
💡 Dica: Complete o quadrado para identificar as equações das circunferências.
Alternativa por alternativa
O aluno percebe que os raios são iguais, mas supõe que isso basta para haver interseção em dois pontos. Não calcula a distância entre os centros nem compara com a soma dos raios.
Por que engana: Confundir as posições relativas das circunferências, acreditando que elas se interceptam quando, na verdade, possuem centros distintos e não se cruzam.
O aluno erra ao completar os quadrados, por exemplo esquecendo de somar 4 ao lado direito ou trocando o sinal da constante, e obtém raios diferentes para as duas circunferências.
O aluno calcula de forma incorreta a distância entre os centros, obtendo 2 em vez de raiz de 8, e conclui que a soma dos raios é igual à distância, ou seja, tangência externa.
O aluno acredita que, por as equações serem simétricas em x e y, os centros coincidem na origem ou em um mesmo ponto, e assim classifica as circunferências como concêntricas. Não separa corretamente os centros (2, 0) e (0, 2).
CORRETA. As circunferências têm centros distintos e não se interceptam.
Raio-X da questão
equações de circunferência
avaliacao
equações de circunferência · sistemas de coordenadas
Revisar como completar o quadrado para equações do segundo grau em duas variáveis.
Confundir as posições relativas das circunferências, acreditando que elas se interceptam quando, na verdade, possuem centros distintos e não se cruzam.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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