Um ponto (x, y) do plano cartesiano pertence ao conjunto F se é equidistante dos eixos OX e OY e pertence ao…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um ponto (x, y) do plano cartesiano pertence ao conjunto F se é equidistante dos eixos OX e OY e pertence ao círculo de equação x² + y² - 2x - 6y + 2 = 0. É correto afirmar que F [FUVEST 2020 - Questão 22] FUVEST - 2020
- A) é um conjunto vazio.
- B) tem exatamente 2 pontos, um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
- C) tem exatamente 2 pontos, ambos no primeiro quadrante.
- D) tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
- E) tem exatamente 4 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e dois no segundo quadrante.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Complete os quadrados na equação da circunferência. x² - 2x + y² - 6y + 2 = 0 fica (x - 1)² + (y - 3)² = 8, ou seja, centro (1, 3) e raio raiz de 8. Passo 2: Ser equidistante dos eixos OX e OY significa |x| = |y|, o que dá duas retas: y = x ou y = -x. Passo 3: Substituindo y = x na circunferência, obtemos (x - 1)² + (x - 3)² = 8, que simplifica para 2x² - 8x + 2 = 0, isto é, x² - 4x + 1 = 0. Logo x = 2 + raiz de 3 ou x = 2 - raiz de 3. As duas raízes são positivas, então há dois pontos com x e y positivos, ambos no primeiro quadrante. Passo 4: Substituindo y = -x, obtemos (x - 1)² + (-x - 3)² = 8, que simplifica para 2x² + 4x + 2 = 0, ou seja, (x + 1)² = 0. Há uma única solução, x = -1, e o ponto é (-1, 1), no segundo quadrante (a reta é tangente à circunferência). Passo 5: Portanto F tem exatamente 3 pontos: dois no primeiro quadrante e um no segundo quadrante, o que corresponde à alternativa D. Passo 6: Verificação: para (-1, 1), (-1 - 1)² + (1 - 3)² = 4 + 4 = 8, confirmando que o ponto pertence à circunferência. Por que as outras estão erradas: A afirma que F é vazio, mas as contas acima mostram três soluções reais. B conta apenas um ponto no primeiro quadrante, quando a equação x² - 4x + 1 = 0 dá dois. C ignora a reta y = -x e, por isso, perde o ponto (-1, 1). E aparece quando se erra o sinal ao expandir (-x - 3)² e se obtêm quatro pontos, mas o cálculo correto dá apenas três.
💡 Dica: Use a definição de equidistância dos eixos e substitua na equação do círculo para encontrar os pontos.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente acredita que a circunferência não encontra as bissetrizes dos quadrantes, talvez por erro na expansão ou por ter descartado as raízes com radicais como se não fossem válidas.
O aluno encontra o ponto (-1, 1) no segundo quadrante, mas descarta uma das raízes x = 2 ± raiz de 3 ou considera apenas uma delas, ficando com um único ponto no primeiro quadrante.
Por que engana: O aluno pode confundir a condição de equidistância dos eixos, levando a uma contagem errada dos pontos que satisfazem a equação do círculo.
O aluno considera apenas a condição y = x, esquecendo que |x| = |y| também admite y = -x, e por isso não inclui o ponto do segundo quadrante.
É a resposta que o enunciado sustenta.
O aluno erra o sinal ao expandir (-x - 3)² como x² - 6x + 9 e, com essa equação incorreta, obtém duas soluções para cada bissetriz, somando quatro pontos.
Raio-X da questão
distância aos eixos, equação do círculo
avaliacao
equação do círculo · distância aos eixos
Revisar propriedades de distância no plano cartesiano e equação geral do círculo.
O aluno pode confundir a condição de equidistância dos eixos, levando a uma contagem errada dos pontos que satisfazem a equação do círculo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem t² – t – 6 = 0 , onde t = |x – y| , consiste de [FUVEST…
- A região hachurada do plano cartesiano xOy contida no círculo de centro na origem O e raio 1, mostrada na figura, pode…
- Em relação ao plano cartesiano Oxy, é correto afirmar que as equações \( x^2 + y^2 - 4x = -3 \) e \( x^2 + y^2 - 4y = -3…
- No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à…
- Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois…
- No plano cartesiano, os pontos (0,3) e (-1,0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog