A equação x² + 2x + y² + my = n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A equação x² + 2x + y² + my = n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y = -x + 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (-3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente, [FUVEST 2015 - Questão 47] FUVEST - 2015
- A) -4 e 3
- B) 4 e 5
- C) -4 e 2
- D) -2 e 4
- E) 2 e 3
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Complete os quadrados para identificar o centro. Em x^2 + 2x, somando 1 ao quadrado fica (x+1)^2. Em y^2 + my, somando m^2/4 fica (y + m/2)^2. A equação vira (x+1)^2 + (y + m/2)^2 = n + 1 + m^2/4, logo o centro é (-1, -m/2). Passo 2: Como o centro está na reta y = -x + 1, substitua x = -1: y = 1 + 1 = 2. Então -m/2 = 2, o que dá m = -4. Passo 3: O ponto (-3, 4) pertence à circunferência, então satisfaz a equação. Substituindo m = -4: 9 - 6 + 16 - 16 = n, ou seja, n = 3. Passo 4: Verificação. Com m = -4 e n = 3, o centro é (-1, 2), que está na reta (-(-1) + 1 = 2). O raio ao quadrado é n + 1 + m^2/4 = 3 + 1 + 4 = 8. A distância do centro ao ponto (-3, 4) é raiz de (4 + 4) = raiz de 8, que coincide com o raio. Passo 5: Conclusão. Os valores são m = -4 e n = 3, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. As demais alternativas estão erradas: B traz m positivo, incompatível com o centro na reta; C acerta m, mas o valor de n não corresponde à substituição do ponto (-3, 4); D usa m = -2, que coloca o centro em outro ponto da reta; E acerta n, mas m = 2 inverte o sinal necessário para o centro estar sobre a reta.
💡 Dica: Use a forma geral da equação da circunferência e as condições dadas para encontrar m e n.
Alternativa por alternativa
Incorreta. Não satisfaz as condições da equação da circunferência.
Ao obter a coordenada y do centro, ignora o sinal negativo de -m/2 e trata m como positivo. Também não substitui corretamente o ponto (-3, 4) para achar n.
Por que engana: Confundir a relação entre os coeficientes da equação e as coordenadas do centro da circunferência, levando a valores incorretos de m e n.
Encontra corretamente m = -4, mas erra a substituição do ponto (-3, 4) na equação, fazendo 9 - 6 + 16 - 16 dar 2 em vez de 3.
Esquece o fator 1/2 ao completar o quadrado em y e toma o centro como (-1, -m), o que leva a m = -2.
Obtém n = 3 corretamente, mas ao completar o quadrado troca o sinal do termo em y, concluindo que o centro é (-1, m/2) e chegando a m = 2.
Raio-X da questão
equação da circunferência, centro e interseção
avaliacao
equação da circunferência · sistemas de equações
Revisar propriedades da equação geral da circunferência e métodos para encontrar centro e raio.
Confundir a relação entre os coeficientes da equação e as coordenadas do centro da circunferência, levando a valores incorretos de m e n.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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