Dadas as sequências a? = n² + 4n + 4, b? = 2n², c? = a??1 - a? e d? = b??1/b?, definidas para valores inteiros…

Questão

Dadas as sequências a? = n² + 4n + 4, b? = 2n², c? = a??1 - a? e d? = b??1/b?, definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações: I. a? é uma progressão geométrica; II. b? é uma progressão geométrica; III. c? é uma progressão aritmética; IV. d? é uma progressão geométrica. São verdadeiras apenas [FUVEST 2015 - Questão 52] FUVEST - 2015

1. A) I, II e III.
2. B) I, II e IV.
3. C) I e III.
4. D) II e IV.
5. E) III e IV.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. a_n = n^2 + 4n + 4 = (n+2)^2, então a_1 = 9, a_2 = 16 e a_3 = 25. As razões 16/9 e 25/16 são diferentes, logo a sequência não é geométrica e a afirmação I é falsa. Passo 2: b_n = 2n^2 dá b_1 = 2, b_2 = 8 e b_3 = 18. As razões 8/2 = 4 e 18/8 = 2,25 são diferentes, logo a afirmação II é falsa. Passo 3: c_n = a_(n+1) - a_n = (n+3)^2 - (n+2)^2 = 2n + 5. A diferença entre termos consecutivos é sempre 2, logo c_n é progressão aritmética e a afirmação III é verdadeira. Passo 4: d_n = b_(n+1)/b_n = (n+1)^2/n^2. Com a definição transcrita, d_1 = 4, d_2 = 9/4 e d_3 = 16/9; as razões 9/16 e 64/81 são diferentes, então d_n não seria geométrica. Isso significa que, com os dados exatamente como foram transcritos, a afirmação IV não se confirma, e o gabarito E depende de a definição original de b_n ou d_n ser diferente. Por isso recomendo conferir o enunciado na fonte. Pelos cálculos feitos aqui, a única afirmação verificada como verdadeira é a III, e as demais alternativas que a contêm (A, C) ou que incluem I ou II (A, B, D) são erradas.

💡 Dica: Analise as definições das sequências e verifique as propriedades das progressões.

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Raio-X da questão

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