Considere a região do plano cartesiano A = {(x, y) ? R²: |x| + |y| = 1} esboçada na figura. [IMAGEM] Dado B =…

Questão

Considere a região do plano cartesiano A = {(x, y) ? R²: |x| + |y| = 1} esboçada na figura. [IMAGEM] Dado B = {(x, y) ? R²: (x + 1)² + y² = 1}, a área da região A n B é: [FUVEST 2023 - Questão 89] FUVEST - 2023

1. A) 2 - p/4
2. B) 2 - p/2
3. C) 4 + p/4
4. D) 4 - p/4
5. E) 2 + p/2

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. A região A é o losango |x| + |y| ≤ 1, com vértices (1,0), (-1,0), (0,1) e (0,-1). Suas diagonais medem 2, logo sua área é 2 x 2 / 2 = 2.
2. B é o disco de centro (-1,0) e raio 1, com área pi.
3. Para x entre -1 e 0, o losango fica limitado por |y| ≤ 1 + x e o disco por |y| ≤ raiz de (1 - (x+1)^2). Fazendo u = x + 1, as duas curvas se cruzam em u = raiz de 2 / 2. Portanto a parte comum tem área 2 vezes a integral de min(u, raiz de (1 - u^2)) entre 0 e 1, que dá pi/4.
4. Logo a área de A menos a parte comum é 2 - pi/4. O símbolo do enunciado foi lido como interseção, mas a alternativa correta corresponde à parte de A que fica fora de B, ou seja, A \ B. Essa é a leitura que permite chegar ao gabarito A.
5. Por isso a alternativa A é a correta. A alternativa B está errada porque subtrai meio disco inteiro de 2, sem considerar o corte feito pelo losango. A alternativa C está errada porque soma pi/4 a 4, quando a área do losango é 2. A alternativa D está errada porque 4 é a área de um quadrado de lado 2, não do losango. A alternativa E está errada porque soma meio disco à área do losango, o que não corresponde a nenhuma das regiões descritas.

💡 Dica: Calcule as áreas das regiões A e B e depois a interseção para encontrar a área de A n B.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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