A figura mostra um quadrado e um círculo, ambos com centro no ponto O. O quadrado tem lado medindo 1 unidade…

Questão

A figura mostra um quadrado e um círculo, ambos com centro no ponto O. O quadrado tem lado medindo 1 unidade de medida (u.m.) e o círculo tem raio igual a 2 u.m. O ponto A está sobre o contorno do quadrado, o ponto B está sobre o contorno do círculo, e o segmento AB tem tamanho 2 u.m. Quando o ângulo ? = AÔB for máximo, seu cosseno será: [FUVEST 2022 - Questão 37] FUVEST - 2022

1. A) 1/8
2. B) 1/4
3. C) 1/2
4. D) v2/2
5. E) v3/2

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Chame de a a distância OA, que é o raio até o ponto A do quadrado, e observe que OB = 2 porque B está sobre o círculo. Como AB = 2, a lei dos cossenos no triângulo OAB dá 2^2 = a^2 + 2^2 - 2·a·2·cos(θ), ou seja, 4 = a^2 + 4 - 4a·cos(θ). Daí sai cos(θ) = a/4.
2. Como cos(θ) = a/4, o ângulo θ é máximo quando o cosseno é mínimo, e isso acontece quando a é mínimo. Assim, o problema se reduz a descobrir a menor distância possível do centro O ao contorno do quadrado.
3. No quadrado de lado 1 centrado em O, a distância do centro ao contorno varia entre 1/2 (no ponto médio de um lado) e raiz de 2 sobre 2 (nos vértices). Portanto o menor valor de a é 1/2, obtido quando A está no ponto médio de um dos lados.
4. Substituindo a = 1/2 na fórmula cos(θ) = a/4, obtemos cos(θ) = (1/2)/4 = 1/8. A alternativa correta é a A.
5. Por que as outras estão erradas: B (1/4) corresponderia a a = 1, distância que não ocorre no contorno do quadrado; C (1/2) corresponderia a a = 2, ou seja, A sobre o círculo, o que não é o caso; D (raiz de 2 sobre 2) não é compatível com nenhum ponto do contorno do quadrado; E (raiz de 3 sobre 2) também não corresponde a nenhuma distância válida.

💡 Dica: Use propriedades geométricas e trigonométricas para relacionar os pontos e maximizar o ângulo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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