MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Quatro tanques cilíndricos são vistos de cima (em planta baixa) conforme a figura. Todos têm 10 m de raio e…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Quatro tanques cilíndricos são vistos de cima (em planta baixa) conforme a figura. Todos têm 10 m de raio e seus centros se posicionam em vértices dos dois quadrados tracejados adjacentes, ambos com 30 m de lado. Uma fita de isolamento, esticada e paralela ao solo, envolve os 4 tanques, dando uma volta completa (linha em laranja na figura). O comprimento da fita, em metros, é: [FUVEST 2022 - Questão 39] FUVEST - 2022

A) 20p + 30(3 + v2)
B) 20p + 30(4 + v2)
C) 25p + 15(4 + v2)
D) 25p + 30(4 + v2)
E) 25p + 30(4 + 2v2)

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

Identifique a forma da fita. Ela envolve os quatro tanques e forma um contorno convexo. Seu comprimento é a soma de dois tipos de trecho: segmentos retos, tangentes externas entre tanques vizinhos, e arcos de circunferência nos tanques. Como cada tanque tem raio 10 m, a fita tem comprimento total igual ao perímetro do polígono formado pelos centros, mais o comprimento de uma circunferência de raio 10 (20 pi), porque os arcos externos completam uma volta. Os raios são perpendiculares às tangentes, o que garante a independência dessas duas partes.
Pela figura, os centros dos tanques estão em vértices dos dois quadrados de 30 m de lado. Os quatro centros formam um quadrilátero com lados de 60 m, 30 m, 30 m e a diagonal de 30 raiz de 2 m (cerca de 42,4 m). Esse quadrilátero é o contorno dos centros, e a soma desses lados é 60 + 30 + 30 + 30 raiz de 2 = 30(4 + raiz de 2).
Some os arcos externos. Em cada tanque, o arco da fita corresponde ao ângulo externo do polígono dos centros. A soma desses ângulos externos é 360 graus, ou seja, uma volta completa. Assim, os arcos somam uma circunferência de raio 10: 2 pi x 10 = 20 pi.
Some as partes: comprimento total = 20 pi + 30(4 + raiz de 2). Essa é a alternativa B.
Por que as outras estão erradas: A soma apenas 90 m de segmentos retos, o que ignora um dos lados de 60 m. C e E usam um valor de arco diferente de 20 pi, e C também reduz indevidamente o fator dos segmentos. D usa 25 pi, valor incompatível com a soma dos ângulos externos.

💡 Dica: Calcule o perímetro formado pela fita considerando os raios e a distância entre os centros dos tanques.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Interpretaçãoa que mais engana

Considera o lado de 60 m como se fosse 30 m, subtraindo 30 m dos segmentos retos. Assim, obtém 90 + 30 raiz de 2 em vez de 120 + 30 raiz de 2.

Por que engana: O aluno pode confundir o cálculo do perímetro com a soma das áreas dos tanques, resultando em uma resposta incorreta.

B Correta

CORRETA. 20p + 30(4 + v2) é o comprimento correto da fita.

C Erradaerro: Procedimental

Atribui aos arcos o valor 25 pi, em vez de 20 pi, e reduz o fator dos segmentos para 15. Isso mostra falha ao relacionar a soma dos ângulos externos com uma circunferência completa e ao escalar os segmentos.

D Erradaerro: Procedimental

Calcula corretamente os segmentos retos, mas soma os arcos como 25 pi. Não percebe que os ângulos externos formam uma única volta completa, de 2 pi r.

E Erradaerro: Conceitual

Erra os arcos (25 pi) e também a diagonal, tomando-a como 30 vezes 2 raiz de 2. Confunde a diagonal de um quadrado de lado 30 com o dobro do seu valor.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado depende_imagem

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

geometria plana, perímetro, círculo

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

perímetro de figuras planas · propriedades de círculos

📚 Reveja

Revisar cálculo de perímetro e propriedades de círculos e polígonos.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir o cálculo do perímetro com a soma das áreas dos tanques, resultando em uma resposta incorreta.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

abstrato

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