ENEM - 2018 A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
ENEM - 2018 A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos. O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos _A_ e _B_, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta _AB_: 16 m. Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado. A medida encontrada pelo engenheiro foi A medida encontrada pelo engenheiro foi
- A) 4π.
- B) 8π.
- C) 48π.
- D) 64π.
- E) 192π.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique as circunferências. A praça é o círculo maior, de raio R, e o chafariz é o círculo menor, de raio r. Os dois são concêntricos, e o passeio é a região entre eles, cuja área é pi vezes (R^2 - r^2).
- Observe o segmento AB. Ele tem as extremidades na circunferência externa (praça) e é tangente ao chafariz. Como a trena encosta no chafariz, o ponto de tangência é o ponto médio de AB, e o raio que chega a esse ponto é perpendicular a AB.
- Forme um triângulo retângulo com vértices no centro da praça, no ponto de tangência e em uma extremidade de AB. Os catetos são r (raio do chafariz) e AB/2 = 8 m, e a hipotenusa é R. Pelo teorema de Pitágoras, R^2 - r^2 = 8^2 = 64.
- Calcule a área do passeio: pi vezes (R^2 - r^2) = pi vezes 64 = 64pi metros quadrados. A alternativa correta é a D.
- Por que as outras estão erradas. A) 4pi usa um valor pequeno demais para a diferença de quadrados, como se o meio-segmento valesse 4 em vez de 8. B) 8pi usa diretamente o meio-segmento 8 como se fosse a diferença R^2 - r^2, esquecendo de elevá-lo ao quadrado. C) 48pi usa 8^2 - 4^2, tomando 4 como raio do chafariz, o que não corresponde à figura. E) 192pi resulta de multiplicar 64 por 3, um erro no fator usado para a área do anel.
💡 Dica: Use a medida do segmento tangente para calcular a área do passeio entre os círculos concêntricos.
Alternativa por alternativa
O aluno toma metade de AB como 4 em vez de 8, ou divide o valor do meio-segmento por 2 ao aplicar a fórmula, e depois usa esse número como se fosse a diferença de quadrados.
O aluno identifica corretamente que a metade de AB é 8, mas usa esse valor diretamente como área, sem elevar ao quadrado para obter R^2 - r^2.
O aluno aplica Pitágoras com um cateto errado, usando 8^2 - 4^2 = 48, ou seja, toma 4 como raio do chafariz, confundindo raio com metade do diâmetro ou com metade de AB.
Por que engana: Confundir a medida do segmento tangente com o raio ou não aplicar corretamente a relação entre tangente e raios.
A área 64p corresponde a um círculo com raio 16, que é a medida correta do passeio ao redor do chafariz.
O aluno calcula corretamente 64 para R^2 - r^2, mas multiplica o resultado por 3 por confundir a fórmula da área do anel com outra expressão, como se usasse um fator 3 no lugar de pi.
Raio-X da questão
área de anel circular
avaliacao
propriedades de círculos · teorema de tangentes
estudo de círculos concêntricos e cálculo de áreas
Confundir a medida do segmento tangente com o raio ou não aplicar corretamente a relação entre tangente e raios.
pensamento_critico
cotidiano
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