Engenheiros estavam mapeando um terreno para construção de um empreendimento com quatro prédios em formato…

Questão

Engenheiros estavam mapeando um terreno para construção de um empreendimento com quatro prédios em formato cilíndrico distribuídos em torno de uma praça com o formato quadrado. Para a construção dos prédios, os engenheiros demarcaram os vértices da praça nos pontos A = (0,0), B = (8,0), C e D, em sistema de coordenadas cartesianas onde cada unidade corresponde a um metro. Sabendo-se que a borda da seção circular de cada prédio tangencia cada lado do quadrado no seu ponto médio, qual deve ser a equação da circunferência do prédio que tem uma distância de 10 m do seu centro até o centro do quadrado e que passa pelo ponto de tangência P, conforme a figura? [IMAGEM] [FUVEST 2026 - Questão 37] FUVEST - 2026

1. A) (x - 14)² + (y - 4)² = 36
2. B) (x - 18)² + (y - 4)² = 100
3. C) (x - 8)² + (y - 24)² = 36
4. D) x² + y² = 36
5. E) (x - 4)² + (y - 24)² = 100

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Identifique a geometria. O quadrado tem lado 8 m, pois AB = 8, e os vértices são A = (0,0), B = (8,0), C = (8,8) e D = (0,8). O centro da praça é O = (4,4), que está a 4 m de cada lado. Passo 2: Localize o ponto de tangência. Considerando a figura, P é o ponto médio do lado BC, que é vertical (x = 8), logo P = (8,4). Passo 3: Determine a direção do centro. Como a circunferência tangencia o lado BC em seu ponto médio, o raio é perpendicular ao lado nesse ponto, ou seja, o centro está sobre a reta y = 4. Como o prédio fica do lado de fora da praça, o centro tem coordenadas (8 + r, 4), em que r é o raio. Passo 4: Use a distância de 10 m até o centro da praça. A distância entre (8 + r, 4) e (4,4) deve ser 10, então |8 + r - 4| = 10, o que dá r + 4 = 10 e r = 6. Assim, o centro é (14,4). Passo 5: Verifique. O ponto P = (8,4) está a 6 m de (14,4), igual ao raio, e a distância do centro a O é 10 m. Passo 6: Escreva a equação. Com centro (14,4) e raio 6, a equação é (x - 14)² + (y - 4)² = 36, alternativa A. Passo 7: Por que as outras estão erradas. B tem raio 10 e centro (18,4), que está a 14 m do centro da praça, não a 10 m. C tem centro (8,24), que não está a 10 m de (4,4) e não corresponde à reta de tangência. D tem centro na origem, que é um vértice da praça e não o centro do prédio. E tem centro (4,24), que está a 20 m de (4,4), e raio 10, sem relação com a tangência em P.

💡 Dica: Use as coordenadas dos pontos médios e a distância do centro para determinar a equação da circunferência.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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