Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro O e BC = a. A reta OC é perpendicular ao…

Questão

Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro O e BC = a. A reta OC é perpendicular ao segmento AB e o ângulo AÔB mede p/3 radianos. Então, a área do triângulo ABC vale [FUVEST 2010 - Questão 75] FUVEST - 2010

1. A) a²/8
2. B) a²/4
3. C) a²/2
4. D) 3a²/4
5. E) a²

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Seja r o raio da circunferência. Como OA = OB = r e o ângulo AÔB = π/3 = 60°, o triângulo AOB é isósceles com ângulo do vértice de 60°, logo é equilátero. Portanto AB = r e a distância de O até AB é r√3/2. Passo 2: A reta OC passa por O e é perpendicular a AB, então corta AB no ponto médio M, com AM = MB = r/2 e OM = r√3/2. O ponto C está nessa reta, na circunferência, do lado de AB oposto a O. Assim MC = r - r√3/2 = r(2 - √3)/2. Passo 3: A área de ABC é (base × altura)/2, com base AB = r e altura MC: Área = (r × r(2 - √3)/2)/2 = r²(2 - √3)/4. Passo 4: Calcule o lado BC = a. O triângulo MBC é retângulo em M, então BC² = MB² + MC² = r²/4 + r²(2 - √3)²/4 = r²/4 + r²(7 - 4√3)/4 = r²(8 - 4√3)/4 = r²(2 - √3). Passo 5: Como a² = r²(2 - √3), a área do triângulo é r²(2 - √3)/4 = a²/4. Resposta: alternativa B. Passo 6: Nas alternativas erradas, a²/8 divide a área duas vezes por 2; a²/2 esquece a divisão por 2 da fórmula da área; 3a²/4 supõe uma relação de triângulo equilátero que não existe aqui; a² trata BC como base com altura 2a, o que não corresponde à figura.

💡 Dica: Use propriedades de triângulos inscritos e relações trigonométricas para calcular a área.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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