O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo ? a medida do ângulo AÔB, pode-se…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O triângulo AOB é isósceles, com OA = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo ? a medida do ângulo AÔB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se [FUVEST 2014 - Questão 41] FUVEST - 2014
- A) 14° < ? < 28°
- B) 15° < ? < 60°
- C) 20° < ? < 90°
- D) 28° < ? < 120°
- E) 30° < ? < 150°
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Chame de r a medida comum de OA e OB e de alfa o ângulo AÔB. Como AB é o lado do quadrado ABCD (figura), a área do quadrado é AB^2. Passo 2: Pela lei dos cossenos no triângulo AOB, AB^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 cos(alfa) = 2r^2(1 - cos(alfa)). Passo 3: A área do triângulo AOB é (1/2) r^2 sen(alfa). Passo 4: A área do quadrado é maior que a do triângulo quando 2r^2(1 - cos(alfa)) > (1/2) r^2 sen(alfa). Cancelando r^2 e multiplicando por 2, temos 4(1 - cos(alfa)) > sen(alfa). Passo 5: Para resolver essa desigualdade, use t = tan(alfa/2). Então 1 - cos(alfa) = 2t^2/(1 + t^2) e sen(alfa) = 2t/(1 + t^2). Substituindo, 8t^2 > 2t, ou seja, t(4t - 1) > 0. Como t > 0 para 0° < alfa < 180°, obtemos t > 1/4, isto é, alfa/2 > arctan(1/4), o que dá alfa > cerca de 28,07°. Passo 6: Como alfa é menor que 180°, a condição vale para 28,07° < alfa < 180°. Passo 7: Para garantir a afirmação, o intervalo da alternativa deve estar inteiro dentro dessa região. A alternativa A (14° a 28°) contém ângulos menores que 28°, em que o triângulo é maior; errada. A alternativa B (15° a 60°) também inclui ângulos entre 15° e 28°; errada. A alternativa C (20° a 90°) inclui ângulos entre 20° e 28°; errada. A alternativa D (28° a 120°) começa em 28°, valor abaixo do limite real de cerca de 28,07°; errada. Passo 8: A alternativa E (30° a 150°) está inteiramente contida em 28,07° a 180°, então nela a área do quadrado é sempre maior. Resposta: E.
💡 Dica: Use propriedades do triângulo isósceles e do quadrado para comparar as áreas.
Alternativa por alternativa
Supõe que o quadrado só supera o triângulo para ângulos pequenos, invertendo o sentido da desigualdade entre as áreas.
Considera 15° a 60° um intervalo garantido, sem verificar que, entre 15° e 28°, a área do triângulo já é maior que a do quadrado; 60° parece limite por associação ao triângulo equilátero.
Toma 90° como limite natural por associação ao ângulo reto do quadrado e não percebe que, entre 20° e 28°, a área do quadrado fica menor que a do triângulo.
Encontra corretamente o limiar próximo de 28°, mas usa 28° como limite exato, sem perceber que a desigualdade só vale a partir de cerca de 28,07°, e acredita que o ângulo pode chegar a 120° sem problemas.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os ângulos e as áreas, acreditando que um ângulo maior sempre resulta em uma área maior, sem considerar a forma do triângulo.
CORRETA. Este intervalo garante que a área do quadrado é maior que a do triângulo.
Raio-X da questão
área de triângulo e quadrado
avaliacao
área de triângulo · propriedades de triângulos
Revisar cálculo de áreas e propriedades de triângulos isósceles.
O aluno pode confundir a relação entre os ângulos e as áreas, acreditando que um ângulo maior sempre resulta em uma área maior, sem considerar a forma do triângulo.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- O triângulo ACD é isósceles de base CD e o segmento OA é perpendicular ao plano que contém o triângulo OCD, conforme a…
- A figura mostra um quadrado e um círculo, ambos com centro no ponto O. O quadrado tem lado medindo 1 unidade de medida…
- O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado BC e BP =…
- Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD¯ é tangente em X ao arco de…
- Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto…
- Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFG B e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog