No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ABC e ADC são retos, AB = AD = 1, BC = CD = 2 e BD é uma diagonal. O…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No quadrilátero plano ABCD, os ângulos ABC e ADC são retos, AB = AD = 1, BC = CD = 2 e BD é uma diagonal. O cosseno do ângulo BCD vale [FUVEST 2016 - Questão 8] FUVEST - 2016
- A) v3/5
- B) 2/5
- C) 3/5
- D) 2v3/5
- E) 4/5
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Como os ângulos ABC e ADC são retos, os triângulos ABC e ADC são retângulos, com a diagonal AC em comum como hipotenusa. Passo 2: Calcule AC pelo teorema de Pitágoras no triângulo ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1 + 4 = 5, logo AC = raiz de 5. (No triângulo ADC, obtemos o mesmo valor: AC^2 = AD^2 + DC^2 = 1 + 4 = 5.) Passo 3: Os triângulos ABC e ADC são congruentes (caso LLL: AB = AD, BC = DC, AC comum), e a diagonal AC divide o ângulo BCD em duas partes iguais. Passo 4: Seja t o ângulo BCA. No triângulo ABC, cos(t) = BC/AC = 2/raiz de 5. Passo 5: O ângulo BCD é 2t, então cos(BCD) = 2cos^2(t) - 1 = 2 x (4/5) - 1 = 8/5 - 1 = 3/5. Passo 6: Portanto a alternativa correta é a C, 3/5, que coincide com o gabarito oficial. Passo 7: Por que as outras estão erradas: A (raiz de 3 sobre 5) não corresponde a nenhuma razão dos lados do triângulo; B (2/5) seria obtido dividindo BC por AC^2 em vez de AC; D (2 raiz de 3 sobre 5) não surge das relações dos lados; E (4/5) é o seno de BCD, e não o cosseno, pois sen(2t) = 2 x (1/raiz de 5) x (2/raiz de 5) = 4/5.
💡 Dica: Use as propriedades dos triângulos retângulos e a definição de cosseno para calcular o valor pedido.
Alternativa por alternativa
Chegou a um valor com raiz de 3 no numerador, possivelmente por erro de cálculo ao aplicar a fórmula do cosseno do arco duplo ou por confusão com um triângulo de 30 e 60 graus.
Por que engana: Confundir a relação entre os lados e os ângulos, aplicando a fórmula do cosseno de forma inadequada.
Provavelmente calculou cos(t) como BC dividido por AC ao quadrado (2/5), em vez de dividir por AC (2/raiz de 5), perdendo a raiz no denominador.
CORRETA. Valor correto do cosseno do ângulo BCD.
Pode ter tratado o ângulo BCD como sendo de 60 graus ou ter assumido uma figura simétrica com raiz de 3 sem justificativa nos dados do enunciado.
Calculou o seno de BCD (4/5) em vez do cosseno, confundindo as duas funções trigonométricas do ângulo duplo.
Raio-X da questão
cosseno, triângulo, quadrilátero
avaliacao
propriedades de triângulos · cosseno em triângulos
Revisar propriedades de triângulos retângulos e cálculo de cosseno de ângulos.
Confundir a relação entre os lados e os ângulos, aplicando a fórmula do cosseno de forma inadequada.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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