Se f: R ? R e g: R ? R são funções dadas por f(x) = c + x², onde c ? R, e g(x) = x, seus gráficos se…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se f: R ? R e g: R ? R são funções dadas por f(x) = c + x², onde c ? R, e g(x) = x, seus gráficos se intersectam quando, e somente quando, [FUVEST 2021 - Questão 11] FUVEST - 2021
- A) c = 1/4.
- B) c = 1/4.
- C) c = 1/2.
- D) c = 1/2.
- E) c = 1.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Os gráficos se intersectam nos pontos em que f(x) = g(x), ou seja, c + x^2 = x. Reorganizando, x^2 - x + c = 0. Observação: no enunciado, o símbolo da relação que define o intervalo de c aparece corrompido como ponto de interrogação; a análise abaixo considera a condição usual de existência de solução real.
- Para que exista interseção, a equação do segundo grau precisa ter pelo menos uma raiz real, isto é, o discriminante deve ser maior ou igual a zero. Aqui a = 1, b = -1 e c, logo Δ = (-1)^2 - 4·1·c = 1 - 4c.
- Impondo Δ ≥ 0, temos 1 - 4c ≥ 0, ou seja, c ≤ 1/4. Assim, os gráficos se intersectam quando, e somente quando, c ≤ 1/4.
- Entre as alternativas, a única que corresponde a um valor de c para o qual há interseção é c = 1/4. Nesse caso Δ = 0, há uma raiz dupla x = 1/2 e os gráficos são tangentes no ponto (1/2, 1/2). Logo a alternativa A está correta, concordando com o gabarito oficial.
- Por que as demais estão erradas: C (c = 1/2) faz Δ = 1 - 2 = -1 < 0, sem raiz real; D tem o mesmo valor de C, também sem interseção; E (c = 1) faz Δ = 1 - 4 = -3 < 0, sem raiz real. B tem o mesmo conteúdo de A (c = 1/4), por isso também é uma resposta válida no conteúdo, e a duplicidade é um defeito de impressão da questão.
💡 Dica: Iguale as funções e resolva a equação quadrática para encontrar as interseções.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A interseção ocorre quando x² - x + c = 0 tem solução real, ou seja, ? = 1 - 4c = 0, o que implica c = 1/4.
O aluno que marca B chega corretamente a c = 1/4, mas o enunciado repete exatamente a alternativa A, então a escolha entre elas depende de um detalhe que não existe no conteúdo. Provavelmente ele não percebeu a duplicidade e marcou a segunda opção encontrada.
O aluno provavelmente calcula o discriminante de forma incorreta, usando 1 - 2c em vez de 1 - 4c, ou não multiplica o coeficiente c pelo fator 4 de a·c. Com isso chega a c = 1/2 como se fosse a condição de tangência.
Por que engana: O aluno pode confundir os valores de c que geram interseções, escolhendo um valor que não corresponde à condição correta da interseção.
O aluno que marca D repete o mesmo erro de cálculo do discriminante que leva a c = 1/2, esquecendo o fator 4 do produto a·c. Como a alternativa C tem o mesmo valor, ele pode ter escolhido a segunda ocorrência por descuido.
O aluno provavelmente confunde a condição de interseção com a igualdade direta entre o termo independente e o coeficiente de x, ou comete erro de sinal no discriminante, obtendo c = 1 a partir de 1 - c = 0 ou de uma expressão semelhante. Ele não percebe que, para c = 1, a equação x^2 - x + 1 = 0 não tem raiz real.
Raio-X da questão
interseção de funções quadráticas
avaliacao
interseção de funções quadráticas · análise de gráficos de funções
Revisar resolução de equações quadráticas e análise de interseção de gráficos.
O aluno pode confundir os valores de c que geram interseções, escolhendo um valor que não corresponde à condição correta da interseção.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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