Sejam D_f e D_g os maiores subconjuntos de R nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais f(x)…

Questão

Sejam D_f e D_g os maiores subconjuntos de R nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais f(x) = v(x³+2x²-4x-8)/(x-2) e g(x) = v(x³+2x²-4x-8)/v(x-2). Considere, ainda, I_f e I_g as imagens de f e de g, respectivamente. Nessas condições, [FUVEST 2018 - Questão 28] FUVEST - 2018

1. A) D_f = D_g e I_f = I_g.
2. B) Tanto D_f e D_g quanto I_f e I_g diferem em apenas um ponto.
3. C) D_f e D_g diferem em apenas um ponto, I_f e I_g diferem em mais de um ponto.
4. D) D_f e D_g diferem em mais de um ponto, I_f e I_g diferem em apenas um ponto.
5. E) Tanto D_f e D_g quanto I_f e I_g diferem em mais de um ponto.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Fatore o numerador. x^3+2x^2-4x-8 = x^2(x+2) - 4(x+2) = (x+2)(x^2-4) = (x+2)^2(x-2). Assim, f(x) = raiz quadrada de [(x+2)^2(x-2)] / (x-2) e g(x) = raiz quadrada de [(x+2)^2(x-2)] / raiz quadrada de (x-2). Passo 2: Domínio de f. Exige-se (x+2)^2(x-2) maior ou igual a 0 e x diferente de 2. Se x diferente de -2, então (x+2)^2 é positivo e é preciso x-2 maior que 0, isto é, x maior que 2. Se x = -2, o radicando vale 0, que é permitido, e f(-2) = 0/(-4) = 0. Logo D_f = {-2} união (2, +infinito). Passo 3: Domínio de g. Exige-se x-2 maior que 0 (a raiz do denominador deve existir e não se anular). Então D_g = (2, +infinito), e x = -2 fica excluído. Passo 4: Comparando os domínios, D_f e D_g diferem apenas no ponto -2. Passo 5: Imagem de f. Para x maior que 2, f(x) = |x+2|/raiz quadrada de (x-2) = (x+2)/raiz quadrada de (x-2). Fazendo t = raiz quadrada de (x-2) > 0, tem-se f = t + 4/t, que é maior ou igual a 4 e atinge 4 em t = 2. Como f(-2) = 0 e f cresce sem limite, I_f = {0} união [4, +infinito). Passo 6: Imagem de g. Para x maior que 2, g(x) = |x+2| = x+2 > 4, então I_g = (4, +infinito). Passo 7: I_f e I_g diferem nos pontos 0 e 4, ou seja, em mais de um ponto. Conclusão: a alternativa correta é a C. Por que as outras estão erradas: A ignora que os domínios diferem em -2 e que as imagens diferem; B erra ao dizer que os domínios diferem em um só ponto e que as imagens também diferem em um só; D inverte o contraste entre domínio e imagem; E erra ao afirmar que os domínios diferem em mais de um ponto.

💡 Dica: Analise o domínio das funções considerando as restrições dos denominadores e das raízes.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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