Na figura, os segmentos AC e DE são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento CD; o ponto B pertence ao…

Questão

Na figura, os segmentos AC e DE são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento CD; o ponto B pertence ao segmento AC; F é o ponto médio do segmento AB; e ABE é um triângulo equilátero. Além disso, o segmento BC mede 10 unidades de comprimento e o segmento AE mede 6 unidades de comprimento. A medida do segmento DF, em unidades de comprimento, é igual a [FUVEST 2021 - Questão 9] FUVEST - 2021

1. A) 14.
2. B) 15.
3. C) 16.
4. D) 17.
5. E) 18.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Como ABE é equilátero e AE = 6, os três lados medem 6: AB = BE = AE = 6. Passo 2: O segmento AC é formado por AB e BC, logo AC = 6 + 10 = 16. Passo 3: F é o ponto médio de AB, então AF = FB = 3. Passo 4: Escolha um sistema de coordenadas com C na origem (0, 0) e AC sobre o eixo vertical. Então A = (0, 16), B = (0, 10) e F = (0, 13), pois F é o ponto médio de AB. Passo 5: O ponto E é vértice do triângulo equilátero de lado 6 construído sobre AB, e a altura desse triângulo é 6 vezes raiz de 3 sobre 2, que é 3 vezes raiz de 3. Como o triângulo é equilátero, E está na mesma altura do ponto médio de AB, isto é, na horizontal que passa por F, com altura 13. Assim E = (3 vezes raiz de 3, 13), tomando o lado positivo, pois o sinal não altera a distância. Passo 6: Como DE é paralelo a AC e perpendicular a CD, o segmento DE é vertical e D está sobre o eixo horizontal CD, com a mesma abscissa de E. Logo D = (3 vezes raiz de 3, 0). Passo 7: Calcule DF pelo teorema de Pitágoras: DF = raiz de ((3 vezes raiz de 3)^2 + 13^2) = raiz de (27 + 169) = raiz de 196 = 14. Resposta: alternativa A. Nas demais, cada resultado surge de um equívoco: B (15) não aplica corretamente o Pitágoras com as componentes; C (16) confunde DF com o comprimento de AC; D (17) usa um valor incorreto para a altura de E; E (18) toma errado a altura de F ou um dos catetos.

💡 Dica: Use propriedades de triângulos equiláteros e relações métricas em segmentos paralelos e perpendiculares.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede v5/4 , o ponto E está em CD e AF é…
• No retângulo ABCD da figura tem-se CD = l e AD = 2l. Além disso, o ponto E pertence à diagonal BD, o ponto F pertence ao…
• Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio…
• Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto…
• A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento CD¯ de maneira que CE = 1, e F é…
• No triângulo ABC, o segmento DE é paralelo a BC, com D em AB e E em AC. Sabe-se AB = 10, AC = 8 e AD = 6. Determine AE.