Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto…

Questão

Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale [FUVEST 2010 - Questão 72] FUVEST - 2010

1. A) 63
2. B) 25
3. C) 12
4. D) 5
5. E) 6

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. No triângulo ABC, retângulo em B, a hipotenusa vale AC = raiz de (3^2 + 4^2) = raiz de 25 = 5. Passo 2: Em DECF, o lado DE é paralelo ao lado CF, que está sobre a hipotenusa AC. Logo DE é paralelo a AC, e o triângulo DBE é semelhante ao triângulo ABC. Passo 3: A razão de semelhança é k = DE/AC = (3/2)/5 = 3/10. Passo 4: Assim, BD = k·AB = (3/10)·4 = 6/5 e BE = k·BC = (3/10)·3 = 9/10. Passo 5: Como E pertence a BC, o lado EC do paralelogramo mede EC = BC − BE = 3 − 9/10 = 21/10. Passo 6: Como AB é perpendicular a BC, a distância de D até a reta BC é BD = 6/5, que é a altura do paralelogramo relativa à base EC. Passo 7: A área é EC × altura = (21/10)·(6/5) = 126/50 = 63/25, que corresponde à alternativa A. Passo 8: As demais alternativas estão erradas: B (25) não é área deduzida do paralelogramo; C (12) é o dobro da área do triângulo ABC; D (5) é a medida da hipotenusa; E (6) é a área do triângulo ABC inteiro, e não do paralelogramo interno. Passo 9: Conferência: 63/25 = 2,52 é menor que a área de ABC (que é 3·4/2 = 6), o que é coerente com o paralelogramo estar contido no triângulo.

💡 Dica: Use propriedades de paralelogramos e relações métricas no triângulo retângulo para encontrar a área.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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