Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o…

Questão

Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente. A área do triângulo AEF é igual a [FUVEST 2017 - Questão 85] FUVEST - 2017

1. A) 24/25
2. B) 29/30
3. C) 61/60
4. D) 16/15
5. E) 23/20

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Coloque o retângulo no plano cartesiano com A(0, 0), B(4, 0), C(4, 2) e D(0, 2). Assim, M, ponto médio de BC, é (4, 1), e N, ponto médio de CD, é (2, 2). Passo 2: A reta BN passa por B(4, 0) e N(2, 2), e sua equação é x + y = 4. Passo 3: A reta AM passa por A(0, 0) e M(4, 1), e sua equação é y = x/4. A interseção com BN satisfaz x + x/4 = 4, logo x = 16/5 e y = 4/5, ou seja, E(16/5, 4/5). Passo 4: A reta AC passa por A(0, 0) e C(4, 2), e sua equação é y = x/2. A interseção com BN satisfaz x + x/2 = 4, logo x = 8/3 e y = 4/3, ou seja, F(8/3, 4/3). Passo 5: A área de um triângulo com vértices (0, 0), (x1, y1) e (x2, y2) é a metade do módulo de x1·y2 - x2·y1. Aqui, a área é a metade de |(16/5)(4/3) - (8/3)(4/5)| = metade de |64/15 - 32/15| = metade de 32/15 = 16/15. Resposta: alternativa D. Passo 6: Por que as demais estão erradas: a alternativa A (24/25) é um valor pequeno demais para a área, pois o triângulo AEF tem base e altura que não justificam esse resultado; a alternativa B (29/30) tem denominador que não surge da combinação correta das coordenadas de E e F; a alternativa C (61/60) é maior que o resultado correto por um erro no cálculo das coordenadas; a alternativa E (23/20) também indica uma coordenada calculada de forma incorreta.

💡 Dica: Use coordenadas para determinar os pontos de interseção e calcule a área do triângulo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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