A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede v5/4 , o ponto E está em CD e AF…

Questão

A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede v5/4 , o ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE mede [FUVEST 2010 - Questão 76] FUVEST - 2010

1. A) 3v5/40
2. B) 7v5/40
3. C) 9v5/40
4. D) 11v5/40
5. E) 13v5/40

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Coloque o quadrado em coordenadas: A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1) e D=(0,1). Como BF = raiz de 5 sobre 4 e F está em BC, F=(1, raiz de 5 sobre 4). Passo 2: No triângulo ABF, o ângulo BAF = θ satisfaz tan(θ) = BF/AB = raiz de 5 sobre 4. Passo 3: Como AF é bissetriz do ângulo BAE, o ângulo BAE = 2θ. Passo 4: Use a fórmula do arco duplo: tan(2θ) = 2tan(θ)/(1 - tan^2(θ)). Com tan(θ) = raiz de 5 sobre 4, tan^2(θ) = 5/16, logo 1 - tan^2(θ) = 11/16 e 2tan(θ) = raiz de 5 sobre 2 = 8 raiz de 5 sobre 16. Assim tan(2θ) = 8 raiz de 5 / 11. Passo 5: O ponto E está em CD, que é a reta y = 1. Logo E=(x,1), e tan(BAE) = 1/x. Portanto 1/x = 8 raiz de 5 / 11, ou seja, x = 11/(8 raiz de 5) = 11 raiz de 5 / 40. Passo 6: Como D=(0,1), DE = x = 11 raiz de 5 / 40, que é a alternativa D. Passo 7: Por que as outras estão erradas: A (3 raiz de 5/40) e C (9 raiz de 5/40) resultam de erro numérico na simplificação da fração; B (7 raiz de 5/40) vem de uma aplicação incorreta da fórmula do arco duplo; E (13 raiz de 5/40) decorre de confundir os segmentos sobre CD e BC, como usar a medida de EC no lugar de DE.

💡 Dica: Use propriedades do quadrado e da bissetriz para encontrar o segmento DE.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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