No retângulo ABCD da figura tem-se CD = l e AD = 2l. Além disso, o ponto E pertence à diagonal BD, o ponto F…

Questão

No retângulo ABCD da figura tem-se CD = l e AD = 2l. Além disso, o ponto E pertence à diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede [FUVEST 2008 - Questão 36] FUVEST - 2008

1. A) lv2/8
2. B) lv2/4
3. C) lv2/2
4. D) 3lv2/4
5. E) lv2

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Identifique as medidas do retângulo. Como CD = l e AD = 2l, então AB = l e BC = 2l. A área de ABCD é 2l^2.
2. Use o triângulo BCD, retângulo em C. Pelo teorema de Pitágoras, BD = raiz de (l^2 + 4l^2) = l·raiz de 5. O ângulo θ = ângulo DBC tem cos θ = BC/BD = 2/raiz de 5 e sen θ = CD/BD = 1/raiz de 5.
3. O triângulo BEF é retângulo em E (pois EF é perpendicular a BD), e o ângulo em B é o mesmo θ, porque F está sobre BC e E sobre BD. Logo BE = BF·cos θ e EF = BF·sen θ.
4. Calcule a área de BEF: (BE·EF)/2 = (BF^2·sen θ·cos θ)/2 = (BF^2·(2/5))/2 = BF^2/5.
5. Aplique a condição do enunciado: área de ABCD = 5 × área de BEF, ou seja, 2l^2 = 5·(BF^2/5) = BF^2. Assim BF^2 = 2l^2 e BF = l·raiz de 2. Essa é a alternativa E.
6. Por que as outras estão erradas. A) l·raiz de 2/8 é pequena demais e não satisfaz a igualdade das áreas. B) l·raiz de 2/4 também sai de um erro na relação entre as áreas. C) l·raiz de 2/2 corresponde a uma área de BEF que não obedece ao fator 5. D) 3l·raiz de 2/4 leva a BF^2 = 9l^2/8, valor que não iguala as áreas.
7. Verificação. BF = l·raiz de 2 é menor que BC = 2l, e BE = 2l·raiz de 2/raiz de 5 é menor que BD = l·raiz de 5, então a configuração é possível.

💡 Dica: Use as propriedades do retângulo e relações de áreas para montar equações.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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