O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem t² – t – 6 = 0 , onde t = |x – y| , consiste…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem t² – t – 6 = 0 , onde t = |x – y| , consiste de [FUVEST 2006 - Questão 27] FUVEST - 2006
- A) uma reta.
- B) duas retas.
- C) quatro retas.
- D) uma parábola.
- E) duas parábolas.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Resolvo a equação em t: t^2 - t - 6 = 0. Fatorando, (t - 3)(t + 2) = 0, então t = 3 ou t = -2.
- Como t = |x - y| e o módulo de um número nunca é negativo, t = -2 não serve. Resta apenas t = 3, ou seja, |x - y| = 3.
- A equação |x - y| = 3 equivale a duas possibilidades: x - y = 3 ou x - y = -3.
- Cada uma dessas equações representa uma reta no plano cartesiano, e as duas retas são paralelas (mesma inclinação 1, com interceptos diferentes). Logo, o conjunto é formado por duas retas, alternativa B.
- Por que as outras estão erradas: A) há duas retas, não apenas uma, pois o módulo gera os dois sinais; C) o valor t = -2 é descartado, então não surgem quatro retas; D) a equação não é de segundo grau em x e y, e sim em t, e o resultado são retas, não parábolas; E) não há parábolas envolvidas, pois as curvas são retas.
- Conferi a resolução de forma independente e ela coincide com o gabarito oficial, B.
💡 Dica: Resolva a equação para t e interprete o valor de t = |x - y| no plano cartesiano.
Alternativa por alternativa
O aluno aceita apenas o valor positivo de t e esquece que |x - y| = 3 produz também x - y = -3, obtendo uma única reta.
Por que engana: Confundir a quantidade de soluções da equação quadrática com o número de retas no plano cartesiano, levando a uma interpretação errada do gráfico.
Incorreta. Não corresponde à solução da equação.
O aluno não percebe que t = -2 é impossível para um módulo e considera as duas raízes, gerando x - y = ±3 e x - y = ±2, o que daria quatro retas.
O aluno trata a equação como se fosse uma equação de segundo grau em x e y, tirando a conclusão de que o lugar geométrico é uma parábola.
O aluno confunde a estrutura quadrática em t com uma estrutura quadrática no plano e conclui que existem duas parábolas.
Raio-X da questão
equação modular no plano cartesiano
avaliacao
equações quadráticas · sistemas de equações
Revisar resolução de equações modulares e interpretação geométrica no plano cartesiano.
Confundir a quantidade de soluções da equação quadrática com o número de retas no plano cartesiano, levando a uma interpretação errada do gráfico.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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