No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Interpretar e comparar situações que envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a, b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x^2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a [FUVEST 2016 - Questão 6] FUVEST - 2016
- A) 2 + 2v2
- B) 3 + 2v2
- C) 4 + 2v2
- D) 5 + 2v2
- E) 6 + 2v2
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Como o círculo tangencia o eixo y (reta x = 0), o raio r é a distância de P = (a, b) a essa reta, isto é, r = a, pois a > 0. Passo 2: Como o círculo também tangencia a reta y = x, o raio é a distância de P a essa reta: |a - b| / raiz de 2 = a, logo |a - b| = a raiz de 2. Passo 3: Como P pertence à parábola y = x^2, temos b = a^2. Passo 4: Se b < a, então a - b = a raiz de 2, o que daria b = a(1 - raiz de 2), um valor negativo; isso contradiz b = a^2 > 0, portanto esse caso é impossível. Passo 5: Logo b > a, e b - a = a raiz de 2. Substituindo b = a^2: a^2 - a = a raiz de 2. Dividindo por a > 0: a - 1 = raiz de 2, ou seja, a = 1 + raiz de 2. Passo 6: Então b = a^2 = (1 + raiz de 2)^2 = 1 + 2 raiz de 2 + 2 = 3 + 2 raiz de 2. Passo 7: Esse valor corresponde à alternativa B, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A tem valor menor que o correto porque subestima a expansão de (1 + raiz de 2)^2; C, D e E acrescentam unidades indevidas à parte inteira, resultado típico de erro na expansão do quadrado do binômio.
💡 Dica: Use as condições de tangência para relacionar o centro do círculo com as retas e a parábola.
Alternativa por alternativa
Provavelmente calculou mal o quadrado de (1 + raiz de 2) e chegou a um termo inteiro menor, ou tomou b = 2a, desprezando a relação com a parábola.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre o centro do círculo e as retas tangentes, não considerando corretamente a posição do ponto P em relação a elas.
Incorreta. Não satisfaz a condição de tangência com as retas.
Errou a expansão de (1 + raiz de 2)^2 acrescentando uma unidade extra à parte inteira, em vez de obter 1 + 2 da expansão.
Calculou corretamente a relação a - 1 = raiz de 2, mas errou a soma dos termos ao elevar ao quadrado, obtendo parte inteira 5.
Errou a distância de P à reta y = x, por exemplo esquecendo de dividir por raiz de 2, e propagou o erro até a expressão final com parte inteira 6.
Raio-X da questão
círculo, tangência, parábola
avaliacao
equações de retas · propriedades de círculos
Revisar propriedades de círculos tangentes a retas e equações de parábolas.
O aluno pode confundir a relação entre o centro do círculo e as retas tangentes, não considerando corretamente a posição do ponto P em relação a elas.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
Questões parecidas com resolução
- No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2). Além disso, o ponto…
- São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação (x - 1)² + (y - 2)² = 1…
- Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois…
- A região hachurada do plano cartesiano xOy contida no círculo de centro na origem O e raio 1, mostrada na figura, pode…
- No plano cartesiano, os pontos (0,3) e (-1,0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em…
- Um ponto (x, y) do plano cartesiano pertence ao conjunto F se é equidistante dos eixos OX e OY e pertence ao círculo de…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog