Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou…

Questão

Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover-se uma unidade para a direita ou mover-se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade. Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial? [IMAGEM] [FUVEST 2019 - Questão 55] FUVEST - 2019

1. A) 1/9
2. B) 17/81
3. C) 1/3
4. D) 51/125
5. E) 125/243

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Em cada rodada a seta anda -1, 0 ou +1, cada movimento com probabilidade 1/3. Após 5 rodadas, o total de sequências possíveis é 3^5 = 243, todas igualmente prováveis.
2. Para voltar à posição zero, a soma dos 5 deslocamentos deve ser zero. Seja a quantidade de passos -1, 0 e +1 dadas por (a, b, c), com a + b + c = 5 e a = c (para o total ser zero).
3. As possibilidades são: (a, b, c) = (0, 5, 0), (1, 3, 1) e (2, 1, 2). Para cada uma, o número de sequências é o coeficiente multinomial: 5!/(0!5!0!) = 1; 5!/(1!3!1!) = 20; 5!/(2!1!2!) = 30. O total é 1 + 20 + 30 = 51 sequências favoráveis.
4. A probabilidade é 51/243. Simplificando por 3, obtemos 17/81. Logo, a alternativa correta é a B.
5. Por que as outras estão erradas: a A (1/9) considera apenas duas rodadas, o que não corresponde às 5 rodadas do enunciado; a C (1/3) é a probabilidade de ficar parado em uma única rodada, ignorando as demais; a D (51/125) usa a contagem certa de caminhos, mas com denominador errado, 5^3 em vez de 3^5; a E (125/243) tem denominador correto, mas o numerador não corresponde aos caminhos que retornam à origem.

💡 Dica: Considere os possíveis movimentos e calcule a probabilidade combinando os casos que retornam à posição inicial.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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