Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia-se sobre uma linha horizontal, que corresponde…

Questão

Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C apoia-se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A, até o vértice B tocar o solo, e assim por diante. Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2), qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar-se no solo novamente? [IMAGEM] [FUVEST 2019 - Questão 54] FUVEST - 2019

1. A) 2/3 p
2. B) (3+v3)/3 p
3. C) 13/6 p
4. D) (3+v3)/2 p
5. E) (8+2v3)/3 p

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Identifique o triângulo. Com AB = 1 e BC = 2, o ângulo reto está em A, pois AC = raiz de 3. Na posição inicial, o lado BC está apoiado no solo, com B à esquerda de C e A acima do solo, de modo que o ângulo em C mede 30 graus. Passo 2: Primeira fase, rotação em torno de C até A tocar o solo. A gira 150 graus no sentido horário, até CA ficar sobre o solo. B, que está a distância 2 de C, descreve um arco de 150 graus, com comprimento 2 vezes 5 pi/6, ou seja, 5 pi/3. Passo 3: Segunda fase, rotação em torno de A até B tocar o solo. Agora AB é vertical, com B a distância 1 de A. Girando 90 graus no sentido horário, B toca o solo. Esse arco tem raio 1 e comprimento pi/2. Passo 4: Terceira fase, rotação em torno de B até a aresta BC voltar a se apoiar no solo. Nessa etapa B não se move, pois é o centro da rotação, então não contribui para a trajetória. Passo 5: Some os trechos: 5 pi/3 + pi/2 = 10 pi/6 + 3 pi/6 = 13 pi/6. Resposta: alternativa C. Por que as outras estão erradas: A) 2/3 pi corresponderia a um único arco pequeno e não à soma das duas fases. B) (3 + raiz de 3)/3 pi mistura um arco com ângulo de 30 graus com um raio incorreto, o que não corresponde ao movimento. D) (3 + raiz de 3)/2 pi usa um raio ou ângulo que não correspondem às rotações em torno de C e de A. E) (8 + 2 raiz de 3)/3 pi soma trechos que não correspondem às fases reais, com medidas de ângulo erradas.

💡 Dica: Calcule os arcos percorridos pelo vértice B nas rotações em torno dos vértices C e A.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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