A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, com base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros. [IMAGEM] A distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH vale: UNESP - 2012
- A) v5/6 · a.
- B) v6/6 · a.
- C) v5/5 · a.
- D) v6/5 · a.
- E) v30/6 · a.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Considere a base ABCD no plano do chão, com AB de comprimento a. A altura do paralelepípedo é 2a, e H está na vertical de D, que é a posição usual dos vértices nesse tipo de figura. Assim, AB = a, AD = a e AH = raiz de (a^2 + (2a)^2) = a raiz de 5.
- Verifique o ângulo em A. O segmento AB é paralelo ao eixo da base e AH está no plano vertical que contém AD, portanto AB é perpendicular a AH. Logo, o triângulo ABH é retângulo em A.
- A diagonal BH é a hipotenusa desse triângulo. Seu comprimento é BH = raiz de (AB^2 + AH^2) = raiz de (a^2 + 5a^2) = a raiz de 6.
- A distância de A à hipotenusa BH é a altura relativa à hipotenusa. Ela vale (produto dos catetos) / hipotenusa = (AB x AH) / BH = (a x a raiz de 5) / (a raiz de 6) = a raiz de 5 / raiz de 6.
- Racionalize o denominador: raiz de 5 / raiz de 6 = raiz de 5 x raiz de 6 / 6 = raiz de 30 / 6. Portanto a distância é (raiz de 30 / 6) a, que corresponde à alternativa E.
- Por que as outras estão erradas. A) raiz de 5 / 6 é a mesma distância sem a raiz de 6 no numerador, ou seja, uma racionalização feita de forma errada. B) raiz de 6 / 6 equivale a 1 / raiz de 6, valor que não surge do triângulo ABH. C) raiz de 5 / 5 tem denominador incorreto, pois o denominador correto vem de raiz de 6. D) raiz de 6 / 5 inverte os fatores 5 e 6 do radicando.
💡 Dica: Use propriedades do paralelepípedo e geometria espacial para calcular a distância.
Alternativa por alternativa
Aplicou a fórmula corretamente até a/raiz de 6 multiplicado por raiz de 5, mas simplificou mal a racionalização e escreveu raiz de 5 / 6 em vez de raiz de 30 / 6.
Calculou a distância como a dividido por raiz de 6, ignorando o cateto AH e usando apenas um dos lados ou o comprimento da diagonal, o que não corresponde à altura do triângulo ABH.
Por que engana: Confundir a diagonal BH com outras diagonais ou calcular distância errada por não usar fórmula correta.
Obteve o numerador raiz de 5 corretamente, mas erro no denominador ao dividir por 5 em vez de por raiz de 6 ou de 6, confundindo o módulo da diagonal com outra medida.
Trocou os valores dos radicandos 5 e 6 na fração, obtendo raiz de 6 / 5, provavelmente por distração ao copiar os resultados intermediários.
Correta porque v30/6 · a corresponde à distância de um ponto (A) à reta (diagonal BH) correta em um paralelepípedo com base de aresta a e altura 2a. O cálculo considera o produto vetorial entre os vetores AB (representando o ponto A) e o vetor da diagonal BH, com módulo v30a², dividido pelo módulo da diagonal (6), resultando no valor dado.
Raio-X da questão
distância ponto a reta
avaliacao
geometria espacial básica · propriedades do paralelepípedo
Estude distância entre ponto e reta no espaço tridimensional.
Confundir a diagonal BH com outras diagonais ou calcular distância errada por não usar fórmula correta.
pensamento_critico
abstrato
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