A função f : R ? R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) - f(x) = 6x - 2, para todo número real x…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A função f : R ? R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) - f(x) = 6x - 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a [FUVEST 2010 - Questão 77] FUVEST - 2010
- A) 11/6
- B) 7/6
- C) 5/6
- D) 0
- E) -5/6
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Como o gráfico de f é uma parábola, escrevemos f(x) = ax^2 + bx + c, com a diferente de 0.
- Calculamos f(x+1) - f(x). Temos f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c. Subtraindo f(x), restam 2ax + a + b.
- Igualamos à expressão dada, 6x - 2, para todo x real. Comparando os coeficientes de x: 2a = 6, logo a = 3. Comparando os termos constantes: a + b = -2, logo b = -5.
- Assim, f(x) = 3x^2 - 5x + c. Como a parábola tem a = 3 > 0, a concavidade é voltada para cima e ela possui um ponto de mínimo.
- A abscissa do vértice é x = -b/(2a) = -(-5)/(2·3) = 5/6. Esse é o valor de x em que ocorre o menor valor de f.
- Conferindo com o gabarito oficial, a letra C (5/6) coincide com a resolução obtida.
- Por que as outras estão erradas: A (11/6) resulta de um erro no cálculo do coeficiente b; B (7/6) também decorre de um valor incorreto de b; D (0) supõe que o vértice está na origem, o que só valeria se não houvesse termo em x; E (-5/6) é o mesmo módulo de 5/6, mas com sinal trocado na fórmula do vértice.
💡 Dica: Use a relação dada para encontrar a forma da função e determine o vértice da parábola.
Alternativa por alternativa
Provavelmente calculou o coeficiente b de forma errada (por exemplo, obteve b = -11), e depois aplicou -b/(2a) = 11/6 sem perceber que o valor de b não confere com a equação a + b = -2.
Provavelmente errou ao resolver o sistema para a e b, chegando a b = -7 e, com isso, calculou -b/(2a) = 7/6. Não verificou a igualdade dos termos constantes.
Por que engana: Confundir a relação entre a diferença das funções e a forma da parábola, levando a um cálculo incorreto do vértice.
CORRETA. Corresponde ao vértice da parábola.
Acredita que o mínimo ocorre em x = 0, como se a parábola tivesse o vértice na origem. Ignorou o termo linear -5x de f(x), que desloca o vértice.
Calculou corretamente o módulo 5/6, mas trocou o sinal ao aplicar a fórmula x = -b/(2a), já que b = -5 torna -b positivo.
Raio-X da questão
função quadrática, vértice
avaliacao
função quadrática · vértice da parábola
Revisar propriedades de funções quadráticas e cálculo do vértice da parábola.
Confundir a relação entre a diferença das funções e a forma da parábola, levando a um cálculo incorreto do vértice.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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