O polinômio P(x) = x³ - 3x² + 7x - 5 possui uma raiz complexa ? cuja parte imaginária é positiva. A parte real…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O polinômio P(x) = x³ - 3x² + 7x - 5 possui uma raiz complexa ? cuja parte imaginária é positiva. A parte real de ?³ é igual a [FUVEST 2017 - Questão 87] FUVEST - 2017
- A) -11
- B) -7
- C) 9
- D) 10
- E) 12
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Encontrar uma raiz real. Testando x = 1 em P(x) = x³ - 3x² + 7x - 5, obtemos 1 - 3 + 7 - 5 = 0, logo x = 1 é raiz. Passo 2: Fatorar. Dividindo P(x) por (x - 1), obtemos P(x) = (x - 1)(x² - 2x + 5). Passo 3: Resolver a equação do segundo grau x² - 2x + 5 = 0. O discriminante é 4 - 20 = -16, então x = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i. As raízes complexas são 1 + 2i e 1 - 2i. Passo 4: Escolher a raiz z com parte imaginária positiva: z = 1 + 2i. Passo 5: Calcular z². Temos z² = (1 + 2i)² = 1 + 4i + 4i² = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i. Passo 6: Calcular z³ = z² · z = (-3 + 4i)(1 + 2i) = -3 - 6i + 4i + 8i² = -3 - 2i - 8 = -11 - 2i. Passo 7: A parte real de z³ é -11, que corresponde à alternativa A. Isso coincide com o gabarito oficial. Passo 8: Por que as outras estão erradas. B (-7) seria a parte real de z⁴ = (z²)² = (-3 + 4i)² = -7 - 24i, ou seja, uma potência errada. C (9) surge de tratar (2i)³ como 8 em vez de -8i. D (10) não corresponde a nenhum cálculo válido de z³. E (12) decorre de erro de sinal ao lidar com i² na multiplicação dos complexos.
💡 Dica: Use as propriedades das raízes de polinômios e operações com números complexos.
Alternativa por alternativa
Incorreta. O valor calculado da parte real não é -11.
O aluno calculou z⁴ em vez de z³, elevando z² = -3 + 4i ao quadrado, o que gera -7 - 24i e parte real -7.
Por que engana: O aluno pode confundir a parte real da raiz complexa com a parte imaginária, resultando em um valor incorreto.
O aluno tratou (2i)³ como +8 e não como -8i, somando 1 + 8 = 9 como parte real de (1 + 2i)³.
O aluno acredita que a parte real de z³ equivale a 2|z|², sem qualquer base no cálculo da potência, e obtém 2·5 = 10.
O aluno errou o sinal do termo com i² ao expandir a potência ou o produto de complexos, chegando a um valor real de 12 que não corresponde a z³.
Raio-X da questão
raízes complexas, números complexos, potência
avaliacao
números complexos · potências de números complexos
Revisar operações com números complexos e propriedades das raízes de polinômios.
O aluno pode confundir a parte real da raiz complexa com a parte imaginária, resultando em um valor incorreto.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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