No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N é o ponto médio de BC…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N é o ponto médio de BC e MN = v14 / 4. Então, DM é igual [IMAGEM] [FUVEST 2011 - Questão 22] FUVEST - 2011
- A) v2 / 4
- B) v2 / 2
- C) v2
- D) 3v2 / 2
- E) 5v2 / 2
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- MN e base media do triangulo ABC (M e N sao pontos medios de AB e BC), logo MN = AC/2. Como MN = raiz de 14 / 4, temos AC = raiz de 14 / 2 e a metade da diagonal e AO = raiz de 14 / 4.
- Como o losango tem lado 1, pelo teorema de Pitagoras no triangulo AOB: BO^2 = 1 - (raiz de 14 / 4)^2 = 1 - 14/16 = 2/16, logo BO = raiz de 2 / 4. Assim BD = 2 x BO = raiz de 2 / 2.
- Use coordenadas com origem em O, A = (-raiz de 14 / 4, 0), C = (raiz de 14 / 4, 0), B = (0, raiz de 2 / 4) e D = (0, -raiz de 2 / 4). O ponto M, medio de AB, tem coordenadas (-raiz de 14 / 8, raiz de 2 / 8).
- DM^2 = (raiz de 14 / 8)^2 + (raiz de 2 / 8 + raiz de 2 / 4)^2 = 14/64 + (3 raiz de 2 / 8)^2 = 14/64 + 18/64 = 32/64 = 1/2. Portanto DM = raiz de 2 / 2.
- Conclusao: a alternativa correta e a B, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A esta errada porque raiz de 2 / 4 e apenas BO, nao DM. A alternativa C esta errada porque raiz de 2 e o dobro de BD, e DM e menor que BD. A alternativa D esta errada porque 3 raiz de 2 / 2 e grande demais para um segmento dentro de um losango de lado 1. A alternativa E esta errada porque 5 raiz de 2 / 2 e maior que a diagonal do losango, o que e impossivel.
💡 Dica: Use propriedades do losango e pontos médios para calcular DM.
Alternativa por alternativa
Tomou o segmento BO, metade da diagonal menor (raiz de 2 / 4), como se fosse DM, sem considerar que M e ponto medio de AB e que o segmento parte do vertice D.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os pontos médios e a distância entre eles, aplicando incorretamente as propriedades do losango.
Incorreta. DM não é v2 / 2.
Calculou a diagonal menor BD como raiz de 2 / 2 e depois a dobrou, ou confundiu o comprimento de DM com o de uma diagonal inteira.
Aplicou mal a relacao de Pitagoras ou o fator de posicao do ponto medio, tratando DM como 3/2 de BD sem justificativa geometrica.
Somou os quadrados das componentes sem reduzir as fracoes (ou errou as coordenadas de M), obtendo um valor de DM maior que a diagonal do losango.
Raio-X da questão
losango, pontos médios, distância
avaliacao
propriedades do losango · pontos médios e distâncias
Revisar propriedades do losango e cálculo de distâncias em figuras geométricas.
O aluno pode confundir a relação entre os pontos médios e a distância entre eles, aplicando incorretamente as propriedades do losango.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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