O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF =…

Questão

O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2. O seno do ângulo HÂF é igual a [FUVEST 2017 - Questão 81] FUVEST - 2017

1. A) 1 / (2v5)
2. B) 1 / v5
3. C) 2 / v10
4. D) 2 / v5
5. E) 3 / v10

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Posicione o paralelepípedo em um sistema de coordenadas com A na origem, AB sobre o eixo x, AD sobre o eixo y e AE sobre o eixo z. Assim A(0,0,0), B(4,0,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(4,0,2) e H(0,2,2), que são coerentes com AB = 4, BC = 2 e BF = 2. Passo 2: Escreva os vetores do ângulo HÂF a partir de A. AH = (0,2,2) e AF = (4,0,2). Passo 3: Calcule o produto escalar: AH · AF = 0·4 + 2·0 + 2·2 = 4. Passo 4: Calcule os módulos. |AH| = raiz de 8 = 2 raiz de 2 e |AF| = raiz de 20 = 2 raiz de 5. Passo 5: Obtenha o cosseno: cos(HÂF) = 4 / (2 raiz de 2 · 2 raiz de 5) = 4 / (4 raiz de 10) = 1 / raiz de 10. Passo 6: Use a relação fundamental sen^2 + cos^2 = 1. Então sen^2 = 1 - 1/10 = 9/10 e, como o seno de um ângulo agudo é positivo, sen(HÂF) = 3 / raiz de 10, que é a alternativa E. Passo 7: Por que as outras estão erradas. A) 1/(2 raiz de 5) não corresponde ao seno, pois o valor não sai da relação entre os vetores. B) 1/raiz de 5 vem de uma razão entre lados que não representa o ângulo HÂF. C) 2/raiz de 10 é o dobro do cosseno, não o seno. D) 2/raiz de 5 é maior que 1 em ordem de grandeza próxima e não pode ser seno de um ângulo com essa configuração.

💡 Dica: Use as medidas dadas para calcular o seno do ângulo entre os vetores correspondentes.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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