Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta AC, passa o plano a paralelo às…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por um ponto P na aresta AC, passa o plano a paralelo às arestas AB e CD. Dado que AP = 3, o quadrilátero determinado pelas interseções de a com as arestas do tetraedro tem área igual a [FUVEST 2016 - Questão 10] FUVEST - 2016
- A) 21
- B) 21v2/2
- C) 30
- D) 30v2/2
- E) 30v3/2
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Na face ABC, a reta por P paralela a AB corta BC em Q. Pelo teorema de Tales, CQ/CB = CP/CA = 7/10, logo PQ = 10 x 7/10 = 7. Passo 2: Na face ACD, a reta por P paralela a CD corta AD em R. AR/AD = AP/AC = 3/10, logo PR = 10 x 3/10 = 3. Passo 3: A seção do plano com o tetraedro é um paralelogramo PQSR, com lados paralelos a AB e a CD, sendo S o ponto em que a seção encontra BD. Como AB e CD são arestas opostas de um tetraedro regular, elas são perpendiculares, então o paralelogramo é um retângulo. Passo 4: Verificação: na face ABD, a reta por R paralela a AB corta BD em S, com RS = 10 x DR/DA = 10 x 7/10 = 7, igual a PQ, o que confirma a figura. Passo 5: Área = 7 x 3 = 21, resposta A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: a alternativa B supõe ângulo de 45 graus entre os lados da seção; a C usa o comprimento 10 em vez de 7 para um dos lados; a D combina o lado 10 com um ângulo de 45 graus; a E supõe ângulo de 60 graus entre AB e CD, como nos triângulos equiláteros das faces.
💡 Dica: Use propriedades de paralelismo e semelhança para determinar as dimensões do quadrilátero.
Alternativa por alternativa
Incorreta. Cálculo incorreto da área.
Supõe que AB e CD formam um ângulo de 45 graus, por isso multiplica os lados por sen(45) e obtém 21 raiz de 2 / 2. Não percebe que as arestas opostas de um tetraedro regular são perpendiculares.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre as arestas e a área do quadrilátero, aplicando a fórmula errada para calcular a área.
Usa o comprimento total da aresta, 10, como um dos lados da seção, em vez do segmento proporcional 7, e obtém 10 x 3 = 30. Esquece de aplicar o Teorema de Tales na face em que a paralela a AB corta BC.
Combina os dois erros: usa o lado 10 no lugar de 7 e também um ângulo de 45 graus entre os lados, chegando a 30 raiz de 2 / 2.
Supõe que o ângulo entre AB e CD é de 60 graus, por analogia com os ângulos internos dos triângulos equiláteros das faces, e aplica sen(60) = raiz de 3 / 2 ao produto 10 x 3.
Raio-X da questão
geometria espacial, paralelismo, área quadrilátero
avaliacao
geometria espacial · paralelismo
Revisar propriedades de tetraedros regulares, paralelismo e cálculo de áreas em geometria espacial.
O aluno pode confundir a relação entre as arestas e a área do quadrilátero, aplicando a fórmula errada para calcular a área.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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