Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse…

Questão

Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é [FUVEST 2013 - Questão 26] FUVEST - 2013

1. A) 2v3
2. B) 4
3. C) 3v2
4. D) 3v3
5. E) 6

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Os vértices do tetraedro regular são vértices de um cubo de aresta 2, então a aresta do tetraedro é a distância entre dois vértices do cubo que não estão na mesma aresta do cubo, ou seja, uma diagonal de face. Passo 2: A diagonal de uma face de um cubo de aresta 2 vale 2 raiz de 2, pois pelo teorema de Pitágoras d^2 = 2^2 + 2^2 = 8, logo d = raiz de 8 = 2 raiz de 2. Essa é a aresta a do tetraedro. Passo 3: Cada face do tetraedro é um triângulo equilátero de lado a = 2 raiz de 2. A área de um triângulo equilátero é (raiz de 3 / 4) x a^2. Passo 4: Calculando, a^2 = (2 raiz de 2)^2 = 8, então a área é (raiz de 3 / 4) x 8 = 2 raiz de 3. Passo 5: Portanto a alternativa correta é A (2 raiz de 3), o que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B (4) corresponde à área de uma face do próprio cubo, que é um quadrado de lado 2, e não de um triângulo do tetraedro; C (3 raiz de 2) não surge de nenhum cálculo correto da área com a aresta 2 raiz de 2; D (3 raiz de 3) resulta de usar a aresta igual à diagonal espacial do cubo, 2 raiz de 3, o que não é a aresta do tetraedro; E (6) resulta de tomar a base e a altura do triângulo como iguais à diagonal espacial, o que também não corresponde à face do tetraedro.

💡 Dica: Use propriedades do tetraedro regular e do cubo para calcular a área da face.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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