O segmento AB é lado de um hexágono regular de área v3. O ponto P pertence à mediatriz de AB de tal modo que a…

Questão

O segmento AB é lado de um hexágono regular de área v3. O ponto P pertence à mediatriz de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale v2. Então, a distância de P ao segmento AB é igual a [FUVEST 2012 - Questão 59] FUVEST - 2012

1. A) v2
2. B) 2v2
3. C) 3v2
4. D) v3
5. E) 2v3

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Interprete os dados. O símbolo v3 representa raiz de 3 e v2 representa raiz de 2. O hexágono regular tem lado AB = s e área raiz de 3. O triângulo PAB tem área raiz de 2 e P está na mediatriz de AB, de modo que a distância h de P a AB é a altura do triângulo sobre a base AB.
2. Calcule o lado do hexágono. Um hexágono regular de lado s é formado por 6 triângulos equiláteros de lado s, e a área de cada um é (raiz de 3 / 4) s^2. Logo, a área do hexágono é (3 raiz de 3 / 2) s^2. Igualando a raiz de 3: (3 raiz de 3 / 2) s^2 = raiz de 3, então s^2 = 2/3 e s = raiz de (2/3).
3. Use a área do triângulo PAB. A área é (base x altura) / 2, ou seja, (s x h) / 2 = raiz de 2. Então h = 2 raiz de 2 / s.
4. Substitua s. h = 2 raiz de 2 / raiz de (2/3) = 2 raiz de 3. Logo, a distância de P ao segmento AB é 2 raiz de 3, isto é, 2v3.
5. Compare com o gabarito. O resultado obtido coincide com a alternativa E, que é o gabarito oficial. Conclusão: a alternativa E está correta.
6. Por que as outras estão erradas. A) raiz de 2 seria a própria área do triângulo, não a altura. B) 2 raiz de 2 surge se o lado do hexágono for ignorado e tomado como 1. C) 3 raiz de 2 não corresponde ao cálculo correto do lado do hexágono. D) raiz de 3 é o valor da área do hexágono, e não a distância pedida.

💡 Dica: Use a fórmula da área do triângulo e propriedades do hexágono regular para encontrar a distância.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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