Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a…

Questão

Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a [FUVEST 2012 - Questão 67] FUVEST - 2012

1. A) av3
2. B) av2
3. C) av3/2
4. D) av2/2
5. E) av2/4

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Duas arestas não adjacentes de um tetraedro são arestas opostas, como AB e CD. Seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de CD. Queremos o comprimento do segmento MN.
2. As faces ABC e ABD são triângulos equiláteros de lado a. Em cada um, a mediana CM (e DM) é também altura, logo CM = DM = a raiz de 3 dividido por 2.
3. O triângulo CMD é isósceles, com base CD = a e lados iguais a a raiz de 3 dividido por 2. O segmento MN é mediana e altura desse triângulo, pois N é o ponto médio de CD. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo MNC: MN^2 = (a raiz de 3 / 2)^2 - (a/2)^2 = 3a^2/4 - a^2/4 = a^2/2. Logo MN = a raiz de 2 dividido por 2.
4. Conferência com coordenadas: vértices (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) formam um tetraedro regular de aresta 2 raiz de 2. Os pontos médios de arestas opostas são (1,0,0) e (-1,0,0), a distância é 2. Como a = 2 raiz de 2, temos a raiz de 2 / 2 = 2 / 2 raiz de 2 ... isto é, 2 = a raiz de 2 / 2 multiplicado por 2 raiz de 2 / a... de forma equivalente, 2 = a raiz de 2 / 2 quando a = 2 raiz de 2, confirmando o resultado.
5. Por que as outras estão erradas: a raiz de 3 é a altura de um triângulo de lado 2a e não corresponde à distância entre os pontos médios; a raiz de 2 ignora o fator 1/2 dos pontos médios; a raiz de 3 sobre 2 é a altura de uma face, não a distância pedida; a raiz de 2 sobre 4 divide a distância por um fator a mais do que o correto.
6. Portanto a alternativa correta é a D, av2/2, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Use propriedades do tetraedro regular e a fórmula da distância entre pontos médios.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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