A esfera E, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano a. O plano ß é paralelo a a e contém O. Nessas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A esfera E, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano a. O plano ß é paralelo a a e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na interseção de E com ß e, como vértice, um ponto em a, é igual a [FUVEST 2011 - Questão 26] FUVEST - 2011
- A) v3 r³ / 4
- B) 5v3 r³ / 16
- C) 3v3 r³ / 8
- D) 7v3 r³ / 16
- E) v3 r³ / 2
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Como a esfera E é tangente ao plano a, a distância do centro O até a é igual ao raio r. O plano b é paralelo a a e contém O, portanto a distância entre b e a é r. Passo 2: A interseção da esfera com o plano b é um círculo máximo, pois b passa pelo centro O. Esse círculo tem raio r. Passo 3: O hexágono regular inscrito nesse círculo tem lado igual ao raio, ou seja, lado r. Sua área é (3 raiz de 3 / 2) r^2. Passo 4: O vértice da pirâmide está no plano a, a uma distância r da base, que está no plano b. Logo, a altura é r. Passo 5: Volume = (1/3) x área da base x altura = (1/3) x (3 raiz de 3 / 2) r^2 x r = raiz de 3 r^3 / 2. Resposta: alternativa E. Passo 6: Sobre as demais, a alternativa A (raiz de 3 r^3 / 4) corresponde a usar metade da área do hexágono. A alternativa B (5 raiz de 3 r^3 / 16) não corresponde a nenhum cálculo consistente com a figura. A alternativa C (3 raiz de 3 r^3 / 8) corresponde a considerar altura 3r/4, o que contraria a distância r entre os planos. A alternativa D (7 raiz de 3 r^3 / 16) corresponde a um cálculo sem respaldo geométrico nesta configuração. Concluindo, o gabarito E está correto e coincide com a resolução independente.
💡 Dica: Use propriedades da esfera e planos paralelos para determinar as dimensões da pirâmide.
Alternativa por alternativa
Calcula a área do hexágono como metade do valor correto, (3 raiz de 3 / 4) r^2, e usa a altura r corretamente.
Erra o cálculo ao combinar a área do hexágono com a altura, chegando a uma fração sem correspondência com o volume da pirâmide.
Por que engana: Confundir a fórmula do volume da pirâmide com a de um prisma, aplicando a base errada ou a altura incorretamente.
Supõe que a distância entre os planos a e b é 3r/4, confundindo a posição do plano que contém o centro O com outro plano paralelo.
Tenta somar ou subtrair partes da esfera ao volume da pirâmide, como se a região pedida fosse uma calota, o que não corresponde ao enunciado.
CORRETA. O volume é calculado corretamente usando a altura r e a área da base do hexágono regular.
Raio-X da questão
geometria espacial, volume, esfera, pirâmide
avaliacao
volume de pirâmides · propriedades de hexágonos
Revisar propriedades de esferas, planos paralelos e cálculo de volume de pirâmides.
Confundir a fórmula do volume da pirâmide com a de um prisma, aplicando a base errada ou a altura incorretamente.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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