O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3, 0). O…

Questão

O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3, 0). O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5. O comprimento do segmento AB corresponde a: (UERJ 2014)

1. A) 5
2. B) 6
3. C) 3√5
4. D) 6√2

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Como o segmento AB vai de A sobre o eixo vertical até B(3, 0) sobre o eixo horizontal, podemos escrever A(0, a), com a maior que zero. A reta que passa por A e B tem equação x/3 + y/a = 1. Passo 2: Um ponto C(p, q) do segmento está no primeiro quadrante, então suas distâncias aos eixos são |p| = p e |q| = q. O produto dessas distâncias é P = p·q. Passo 3: Como C pertence à reta, q = a(1 - p/3). Substituindo, P = p·a(1 - p/3) = a·p - (a/3)·p^2. Essa é uma parábola com concavidade para baixo, cujo valor máximo ocorre no vértice p = 3/2. Passo 4: No vértice, P = a·(3/2) - (a/3)·(9/4) = 3a/2 - 3a/4 = 3a/4. Passo 5: O enunciado diz que o produto máximo é 4,5, logo 3a/4 = 4,5, o que dá a = 6. Assim A(0, 6) e B(3, 0). Passo 6: Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento de AB é raiz de (3^2 + 6^2) = raiz de (9 + 36) = raiz de 45 = 3·raiz de 5. Passo 7: Por isso a alternativa correta é a C. A alternativa A está errada, pois 5 não corresponde ao comprimento de AB. A alternativa B está errada, pois 6 é apenas a altura OA, não a hipotenusa. A alternativa D está errada, pois 6√2 supõe catetos iguais a 6, o que não corresponde às coordenadas de B.

💡 Dica: Use a relação entre o produto das distâncias e a equação da reta para encontrar o comprimento de AB.

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Raio-X da questão

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