O triângulo ACD é isósceles de base CD e o segmento OA é perpendicular ao plano que contém o triângulo OCD…

Questão

O triângulo ACD é isósceles de base CD e o segmento OA é perpendicular ao plano que contém o triângulo OCD, conforme a figura: [IMAGEM] Sabendo-se que OA = 3, AC = 5 e sen?OCD = 1/3, então a área do triângulo OCD vale [FUVEST 2008 - Questão 37] FUVEST - 2008

1. A) 16v2/9
2. B) 32v2/9
3. C) 48v2/9
4. D) 64v2/9
5. E) 80v2/9

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Como OA é perpendicular ao plano de OCD, o segmento OA é perpendicular a OC e a OD, então os triângulos AOC e AOD são retângulos em O. Passo 2: Como o triângulo ACD é isósceles de base CD, temos AC = AD = 5. Pelo teorema de Pitágoras, OC = raiz de (AC^2 - OA^2) = raiz de (25 - 9) = 4. Analogamente, OD = 4. Passo 3: O triângulo OCD é isósceles com OC = OD = 4, logo os ângulos da base são iguais: angulo OCD = angulo ODC, e sen(OCD) = 1/3. Passo 4: O ângulo do vértice é COD = 180 - 2 x OCD, então sen(COD) = sen(2 x OCD) = 2 x sen(OCD) x cos(OCD). Como sen^2 + cos^2 = 1, cos(OCD) = raiz de (1 - 1/9) = 2 raiz de 2 / 3. Assim sen(COD) = 2 x (1/3) x (2 raiz de 2 / 3) = 4 raiz de 2 / 9. Passo 5: A área é (1/2) x OC x OD x sen(COD) = (1/2) x 4 x 4 x 4 raiz de 2 / 9 = 32 raiz de 2 / 9, que é a alternativa B. Por que as outras estão erradas: A) resulta de usar sen(2x) = sen x cos x, esquecendo o fator 2; C) não corresponde ao cálculo correto dos lados e do ângulo, pois o produto OC x OD e o seno do ângulo do vértice já estão determinados; D) corresponde a esquecer o fator 1/2 da fórmula da área; E) surge de tomar AC = 5 como lado do triângulo OCD, o que está errado porque OC é cateto do triângulo retângulo AOC.

💡 Dica: Use as relações trigonométricas e propriedades do triângulo isósceles para calcular a área.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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