Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFG B e BHIC são quadrados. A área do polígono…

Questão

Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFG B e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale [IMAGEM] [FUVEST 2011 - Questão 24] FUVEST - 2011

1. A) 1 + v3
2. B) 2 + v3
3. C) 3 + v3
4. D) 3 + 2v3
5. E) 3 + 3v3

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Identifique as partes da figura. O triângulo ABC é equilátero de lado 1, e os quadrados ACDE, AFGB e BHIC têm cada um lado 1, pois cada lado do quadrado coincide com um lado do triângulo. O polígono DEFGHI é formado pelos três quadrados e pelos espaços que ficam entre eles, nos vértices do triângulo. Passo 2: Calcule a área do triângulo ABC. Como é equilátero de lado 1, a área é (raiz de 3)/4. Passo 3: Calcule a área dos três quadrados. Cada um tem área 1^2 = 1, logo a soma é 3. Passo 4: Calcule as regiões entre os quadrados. Em cada vértice do triângulo, os dois quadrados vizinhos e o ângulo interno de 60 graus deixam um espaço de ângulo 360 - 90 - 90 - 60 = 120 graus, limitado por dois lados de comprimento 1. Esse espaço é um triângulo de área (1/2)(1)(1)sen(120) = (raiz de 3)/4. São três desses triângulos, somando 3(raiz de 3)/4. Passo 5: Some as partes. O polígono DEFGHI é a união dos três quadrados, dos três triângulos de vértice e do triângulo ABC, ou seja, (raiz de 3)/4 + 3 + 3(raiz de 3)/4 = 3 + raiz de 3. Portanto a alternativa correta é a C. A alternativa A está errada porque considera apenas um quadrado e um triângulo, deixando de contar parte da área. A alternativa B está errada porque soma apenas dois dos quadrados ou ignora parte das regiões. A alternativa D está errada porque atribui às regiões entre os quadrados uma área total de 2(raiz de 3), em vez de 3(raiz de 3)/4 mais o triângulo central. A alternativa E está errada porque trata cada região entre os quadrados como se tivesse área raiz de 3, o que superestima bastante a área.

💡 Dica: Utilize propriedades dos polígonos regulares e relações geométricas para calcular a área.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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