Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A altura relativa…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a [FUVEST 2014 - Questão 37] FUVEST - 2014
- A) 24 cm
- B) 13 cm
- C) 12 cm
- D) 9 cm
- E) 7 cm
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Seja BC = b. Como o triângulo é isósceles com AB = AC, a altura relativa a BC é também mediana, então a área vale (b x 8)/2 = 4b.
- Os lados iguais (legs) L satisfazem L^2 = 8^2 + (b/2)^2 = 64 + b^2/4, pelo teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, metade da base e um lado.
- Para um triângulo, área = r x s, em que s é o semiperímetro. Aqui s = (b + 2L)/2 = b/2 + L, e r = 3. Logo 4b = 3(b/2 + L), o que dá 2,5b = 3L, ou seja, L = 5b/6.
- Substituindo em L^2 = 64 + b^2/4: (25b^2)/36 = 64 + b^2/4. Multiplicando por 36: 25b^2 = 2304 + 9b^2, então 16b^2 = 2304 e b^2 = 144, logo b = 12 cm.
- Verificação: os lados iguais medem 10 cm, o perímetro é 32 cm, o semiperímetro é 16 cm e a área é 4 x 12 = 48 cm^2. Então r = 48/16 = 3 cm, como o enunciado pede.
- Por que as outras estão erradas: 24 cm daria área e perímetro incompatíveis com r = 3; 13 cm não gera altura 8 com lados inteiros coerentes; 9 cm não satisfaz a relação entre área e semiperímetro; 7 cm resulta em inradius diferente de 3.
- Conclusão: BC = 12 cm, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use propriedades do triângulo isósceles e a relação entre altura e raio da circunferência inscrita.
Alternativa por alternativa
Provavelmente esqueceu de dividir a área do triângulo por 2 ou usou a fórmula da área sem o fator 1/2, o que dobra o valor da base encontrado.
Aplicou o teorema de Pitágoras com valores misturados (por exemplo, usando 5 e 12 como medidas, padrão 5-12-13), sem relacionar corretamente a altura de 8 cm com o raio de 3 cm.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre a altura e a base do triângulo, aplicando incorretamente a fórmula da área.
CORRETA. O comprimento de BC é 12 cm, calculado usando altura e propriedades do triângulo.
Supôs que a base tem relação direta com o raio (9 = 3 x 3) e não usou a igualdade entre a área e o produto do raio pelo semiperímetro.
Tratou a base como se fosse a altura menos uma quantidade arbitrária ligada ao raio, sem construir a relação geométrica entre base, lados e raio inscrito.
Raio-X da questão
triângulo isósceles, circunferência inscrita, altura
avaliacao
propriedades do triângulo isósceles · cálculo de áreas
Revisar propriedades de triângulos isósceles e circunferência inscrita em triângulos.
O aluno pode confundir a relação entre a altura e a base do triângulo, aplicando incorretamente a fórmula da área.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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