No triângulo ABC, ?C = 90°. Sabe-se AC = 7 cm e BC = 24 cm. Considere a circunferência circunscrita ao…

Questão

No triângulo ABC, ?C = 90°. Sabe-se AC = 7 cm e BC = 24 cm. Considere a circunferência circunscrita ao triângulo (diâmetro AB) e seja DE uma corda da circunferência paralela a AC. a) Determine o raio da circunferência. b) Mostre que a medida do arco DE é igual à medida do arco AC. c) Calcule o comprimento da corda DE.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

a) Pelo teorema de Pitágoras, AB = v(AC²+BC²) = v(7²+24²) = v(49+576)=v625=25 cm. O diâmetro AB = 25 cm, portanto o raio r = 25/2 = 12,5 cm. b) Considere o ângulo inscrito ?ABC que intercepta o arco AC. No triângulo retângulo em C, tan(?B)=AC/BC=7/24, mas mais útil aqui é reconhecer relações de razão: sen(?B)=oposto/hipotenusa=AC/AB=7/25. O arco AC tem medida 2·?B (ângulo central correspondente). Se DE é corda paralela a AC, as cordas paralelas interceptam arcos congruentes na mesma circunferência; logo m(arc DE)=m(arc AC). c) O comprimento de uma corda que subtende um ângulo central 2·?B é 2r·sin(?B). Como r=12,5 e sin(?B)=AC/AB=7/25, temos DE = 2·12,5·(7/25) =25·(7/25)=7 cm. Portanto DE = 7 cm (igual a AC).

Explicação

O cálculo do raio utiliza o teorema de Pitágoras, que é fundamental para determinar a hipotenusa em triângulos retângulos. A congruência dos arcos DE e AC se baseia na propriedade das cordas paralelas em circunferências, que interceptam arcos de mesma medida. Por fim, o comprimento da corda DE é obtido usando a relação entre o raio e o seno do ângulo, demonstrando que DE é igual a AC.

Raio-X da questão

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