Em ?ABC, o ângulo em B é reto. Sabendo que AB = 8 cm e BC = 15 cm, os pontos A, B e C pertencem a uma…

Questão

Em ?ABC, o ângulo em B é reto. Sabendo que AB = 8 cm e BC = 15 cm, os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência de centro O. (a) Determine o raio R da circunferência circunscrita. (b) Calcule a medida do ângulo central AOC que intercepta o arco AC. (c) Explique a relação entre o ângulo inscrito ABC e o ângulo central AOC.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como ?B = 90°, o segmento AC é a hipotenusa do triângulo retângulo: AC = v(AB²+BC²) = v(8²+15²)=v(64+225)=v289=17 cm. Em um triângulo retângulo inscrito, a hipotenusa é diâmetro da circunferência, logo o raio R = AC/2 = 17/2 = 8,5 cm. O arco AC corresponde a um semicírculo, portanto o ângulo central AOC que intercepta AC mede 180°. O ângulo inscrito ABC mede 90° e é exatamente a metade do ângulo central que intercepta o mesmo arco, confirmando a relação: ângulo inscrito = ½ · ângulo central.

Explicação

O cálculo do comprimento da hipotenusa AC utiliza o teorema de Pitágoras, que é adequado para triângulos retângulos. A relação entre o ângulo inscrito e o ângulo central é uma propriedade fundamental da geometria das circunferências, onde o ângulo inscrito é sempre a metade do ângulo central que intercepta o mesmo arco. Assim, as medidas obtidas e as relações estabelecidas estão em conformidade com as propriedades dos triângulos retângulos e das circunferências.

Raio-X da questão

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