Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC . O ângulo entre o lado AB e a altura…

Questão

Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC . O ângulo entre o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a BC é a . Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de a , pela expressão: [FUVEST 2006 - Questão 30] FUVEST - 2006

1. A) 2/p cos²a
2. B) 2/p sen²2a
3. C) p/2 sen²2a cosa
4. D) p/2 sena cos2a
5. E) 2/p sen2a cos²a

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Como AB = AC, o triângulo é isósceles e a altura relativa a BC também é mediana e mediatriz. Assim, ela passa pelo centro O da circunferência e forma com AB o ângulo a. Logo, o ângulo BAC, no vértice A, mede 2a. Passo 2: Seja R o raio da circunferência e L = AB = AC. Seja D o pé da altura, ponto médio de BC. No triângulo ABD, BD = L sen a, então BC = 2L sen a. Passo 3: Pela lei dos senos no triângulo ABC, BC / sen(BAC) = 2R, ou seja, 2L sen a / sen 2a = 2R. Como sen 2a = 2 sen a cos a, obtemos R = L / (2 cos a), isto é, L = 2R cos a. Passo 4: A área do triângulo ABC é (1/2) AB·AC·sen(BAC) = (1/2) L^2 sen 2a. Substituindo L^2 = 4R^2 cos^2 a, a área fica 2R^2 cos^2 a sen 2a. Passo 5: A área do círculo é pi R^2. O quociente é (2R^2 cos^2 a sen 2a) / (pi R^2) = (2/pi) sen 2a cos^2 a, que é a alternativa E. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A esquece o fator sen 2a; a alternativa B troca cos^2 a por sen^2 2a; a alternativa C inverte a razão e usa potências e funções trigonométricas incorretas; a alternativa D inverte a razão e usa cos 2a e sen a no lugar das funções corretas.

💡 Dica: Use propriedades do triângulo isósceles e relações trigonométricas para expressar as áreas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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