(Disserte) Num triângulo isósceles A B C com vértice A, a base BC mede 30 m e a altura total do vértice A até…

Questão

(Disserte) Num triângulo isósceles A B C com vértice A, a base BC mede 30 m e a altura total do vértice A até BC é 20 m. Traça-se a reta EF paralela a BC a 8 m abaixo de A, intersectando AB em E e AC em F. Determine: (a) o comprimento da base EF da pequena seção triangular; (b) os comprimentos AE e AF; (c) o perímetro do triângulo AEF. Apresente todos os passos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Modelo de resolução: Seja H o pé da altura de A sobre BC; por simetria BH = HC = 15 m. A altura total AH = 20 m. A reta EF está a 8 m abaixo de A, portanto a pequena semelhança tem altura h' = 8 m. Razão de semelhança k = h'/AH = 8/20 = 2/5. (a) A base EF = k·BC = (2/5)·30 = 12 m. (b) Os lados iguais do triângulo grande são L = v(15²+20²) = v(225+400) = v625 = 25 m. Os lados AE e AF = k·L = (2/5)·25 = 10 m. (c) Perímetro de AEF = EF + AE + AF = 12 + 10 + 10 = 32 m. Observações: usada semelhança de triângulos (retas paralelas geram razões iguais entre dimensões correspondentes) e propriedades métricas do triângulo isósceles.

Explicação

A resolução utiliza a semelhança de triângulos, que é uma propriedade fundamental em geometria, permitindo calcular as dimensões do triângulo menor a partir do triângulo maior. A razão de semelhança é estabelecida pela relação entre as alturas, o que possibilita determinar o comprimento da base EF e os lados AE e AF. Por fim, o perímetro é obtido somando as medidas encontradas, confirmando a consistência da aplicação das propriedades geométricas.

Raio-X da questão

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