Considere as funções reais f : R+ ? R e g : R+ ? R, onde R+ é o conjunto dos números reais positivos…

Questão

Considere as funções reais f : R+ ? R e g : R+ ? R, onde R+ é o conjunto dos números reais positivos, definidas por f(x) = log2x e g(x) = log3x. Se x1 e x2 são os possíveis valores de x que satisfazem à condição f(x).g(x) = log2 . log3, então, o produto x1.x2 é igual a (UECE 2023)

1. A) 1.
2. B) 6.
3. C) 3.
4. D) 2.

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Na equação, log2 e log3 são constantes numéricas (logaritmos de 2 e de 3). Escreva a condição como (log2 x)(log3 x) = log2 · log3. Passo 2: Passe tudo para um mesmo logaritmo, por exemplo o decimal. Use log2 x = log x / log 2 e log3 x = log x / log 3, em que log x é o logaritmo decimal de x. Passo 3: Substitua na equação: (log x)^2 / (log 2 · log 3) = log 2 · log 3. Passo 4: Multiplique os dois lados por log 2 · log 3 e obtenha (log x)^2 = (log 2 · log 3)^2. Passo 5: Tire a raiz quadrada dos dois lados: log x = log 2 · log 3 ou log x = -(log 2 · log 3). Passo 6: Cada valor de log x determina um único x positivo: x1 = 10^(log 2 · log 3) e x2 = 10^(-log 2 · log 3). Passo 7: Calcule o produto: x1 · x2 = 10^(log 2 · log 3 - log 2 · log 3) = 10^0 = 1. Logo a alternativa A está correta. Passo 8: Por que as outras estão erradas: a alternativa B (6) surge de tomar os valores de x como os próprios logaritmos 2 e 3, e não como as soluções da equação. A alternativa C (3) vem de tratar a equação como se tivesse soluções inteiras, como x = 3 e x = 1, sem resolver de fato. A alternativa D (2) resulta de tomar x1 = 2 e x2 = 1 a partir de uma leitura direta dos termos log 2 e log 3, sem seguir o método.

💡 Dica: Use propriedades dos logaritmos para resolver a equação e encontrar o produto dos valores de x.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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