As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta? [FUVEST 2013 - Questão 27] FUVEST - 2013
- A) Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que va + b = va + vb.
- B) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que a² - b² = 0, é verdadeiro que a = b.
- C) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que va² = a.
- D) Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b, é verdadeiro que 1/b < 1/a.
- E) Qualquer que seja o número real a, com 0 < a < 1, é verdadeiro que a² < va.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Vou analisar cada alternativa por conta própria, usando contraexemplos quando a afirmação for falsa. Passo 2: Na alternativa A, a afirmação raiz de (a + b) = raiz de a + raiz de b é falsa. Com a = 1 e b = 1, o lado esquerdo vale raiz de 2, aproximadamente 1,41, e o lado direito vale 2. Passo 3: Na alternativa B, a² - b² = 0 significa (a - b)(a + b) = 0, logo a = b ou a = -b. Com a = 1 e b = -1, temos a² - b² = 0, mas a é diferente de b, portanto a afirmação é falsa. Passo 4: Na alternativa C, raiz de a² é igual ao módulo de a, que é |a|, e não a. Com a = -2, raiz de 4 vale 2, que é diferente de -2. Passo 5: Na alternativa D, a afirmação falha quando a e b têm sinais opostos. Com a = -1 e b = 1, temos a < b, mas 1/b = 1 não é menor que 1/a = -1. Passo 6: Na alternativa E, para 0 < a < 1, queremos a² < raiz de a. Elevando ambos os lados ao quadrado (ambos positivos), equivale a a^4 < a, isto é, a³ < 1, o que é verdadeiro para 0 < a < 1. Também é possível testar: com a = 0,25, a² = 0,0625 e raiz de a = 0,5, e 0,0625 < 0,5. Passo 7: Portanto a única afirmação correta é a E, que coincide com o gabarito oficial. Concluímos que o gabarito está correto.
💡 Dica: Analise as propriedades aritméticas e de ordem dos números reais para identificar a afirmação correta.
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que a raiz quadrada distribui sobre a soma, como se raiz de (a + b) fosse igual a raiz de a mais raiz de b. Essa propriedade vale para produtos, não para somas.
O aluno conclui que a² = b² implica a = b, esquecendo que a e b podem ser simétricos (a = -b) e que a raiz quadrada de um número tem dois sinais possíveis.
O aluno acredita que raiz de a² sempre resulta em a, ignorando que o resultado é sempre não negativo, isto é, o módulo de a, o que falha para a negativo.
O aluno supõe que inverter a desigualdade entre a e b sempre inverte a desigualdade entre os inversos, sem considerar os sinais de a e b. Essa regra só vale quando a e b têm o mesmo sinal.
Por que engana: Confundir a relação entre números reais e suas propriedades, levando a uma interpretação errada das desigualdades.
CORRETA. Para 0 < a < 1, a² < va é verdadeiro, pois a² é menor que a e va é maior que a.
Raio-X da questão
propriedades dos números reais
avaliacao
propriedades dos números reais
Revisar propriedades aritméticas e noção de ordem dos números reais.
Confundir a relação entre números reais e suas propriedades, levando a uma interpretação errada das desigualdades.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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