Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a [FUVEST 2010 - Questão 80] FUVEST - 2010
- A) 5/9
- B) 4/9
- C) 1
- D) 3/2
- E) 2/9
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Como cada face lateral é equilátera e sua base mede 1, as arestas que ligam o vértice da pirâmide aos vértices da base também medem 1. Assim, o vértice está sobre o centro do quadrado da base, à mesma distância de seus quatro vértices.
- Considere os pontos médios dos lados da base. A projeção do baricentro de cada face lateral fica a 2/3 do caminho do centro da base até o ponto médio do lado correspondente: o baricentro divide a mediana na razão 2 para 1, a partir do vértice. Como a distância do centro ao ponto médio é 1/2, a distância entre os baricentros de faces laterais vizinhas é a diagonal de um quadrado de lado 1/3, isto é, raiz de 2/3.
- O quadrado dos baricentros tem lado raiz de 2/3 e, portanto, área (raiz de 2/3)^2 = 2/9. A alternativa E está correta. A alternativa A não resulta da escala correta dos baricentros; B usa 2/3 como lado do quadrado; C confunde a área procurada com a área da base; e D não corresponde à área do quadrado formado pelos baricentros.
💡 Dica: Calcule as posições dos baricentros dos triângulos e determine a área do quadrado formado.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente combina de modo incorreto as distâncias entre os baricentros e obtém 5/9, sem considerar que os pontos formam um quadrado girado em relação à base.
O aluno pode tomar 2/3, fator que aparece na posição do baricentro sobre a mediana, como o lado do quadrado e calcular (2/3)^2 = 4/9.
Por que engana: O aluno pode confundir a área do quadrado formado pelos baricentros com a área total da pirâmide, não considerando a relação entre os baricentros e as faces laterais.
O aluno pode supor que o quadrado dos baricentros tem a mesma área da base, ignorando que os baricentros ficam mais próximos do centro da pirâmide.
O aluno provavelmente confunde a área pedida com outra medida da pirâmide ou aplica uma relação de área que não corresponde ao quadrado dos baricentros.
É a resposta que o enunciado sustenta.
Raio-X da questão
baricentro, área, triângulo equilátero
avaliacao
área de triângulos · baricentro de triângulos
Revisar cálculo de baricentro e propriedades de triângulos equiláteros.
O aluno pode confundir a área do quadrado formado pelos baricentros com a área total da pirâmide, não considerando a relação entre os baricentros e as faces laterais.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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