O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a [FUVEST 2007 - Questão 39] FUVEST - 2007
- A) av3/5
- B) av3/3
- C) av3/2
- D) av3
- E) 2av3
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Considere o cubo com a base ABCD e a aresta lateral AE vertical, como na figura usual. Use um sistema de coordenadas com A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), D = (0, a, 0), C = (a, a, 0) e E = (0, 0, a). Passo 2: O centro O do quadrado ABCD é o ponto médio da diagonal AC, então O = (a/2, a/2, 0). Passo 3: M é o ponto médio da aresta AE, então M = (0, 0, a/2). Passo 4: Calcule o quadrado da distância entre M e O: MO^2 = (a/2 - 0)^2 + (a/2 - 0)^2 + (0 - a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 + a^2/4 = 3a^2/4. Passo 5: Extraindo a raiz quadrada, MO = raiz de (3a^2/4) = a raiz de 3 / 2, que corresponde à alternativa C. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa A (a raiz de 3 / 5) não resulta da soma correta dos quadrados, pois o erro está na aritmética com frações. A alternativa B (a raiz de 3 / 3) equivale a a / raiz de 3, resultado de uma simplificação incorreta do radical. A alternativa D (a raiz de 3) é a diagonal espacial do cubo, que liga vértices opostos e não o centro de uma face a um ponto médio de aresta. A alternativa E (2a raiz de 3) seria o dobro da distância correta, sem justificativa geométrica.
💡 Dica: Use as coordenadas dos pontos para calcular a distância entre M e o centro do quadrado ABCD.
Alternativa por alternativa
Ao somar os quadrados das três coordenadas do vetor MO, o aluno provavelmente faz uma soma ou divisão incorreta das frações, chegando a um denominador 5 sem sentido. Também pode ter errado a conta do radical.
O aluno chega a 3a^2/4 mas simplifica a raiz de forma errada, interpretando a raiz de 3a^2/4 como a raiz de 3 dividida por 3, ou seja, a / raiz de 3. Confunde a raiz quadrada do denominador com a própria divisão.
Por que engana: Confundir a posição do ponto M e calcular a distância de forma incorreta, utilizando a fórmula errada para a distância entre pontos.
Incorreta. Distância não é av3/2.
O aluno pode ter confundido a distância pedida com a diagonal espacial do cubo, que vale a raiz de 3 vezes a aresta, ou ter tomado M como o ponto E, cuja distância ao centro é a raiz de 6 sobre 2, e errado a conta.
O aluno provavelmente dobrou o resultado, por exemplo tomando a metade da aresta como a aresta inteira ou usando o comprimento total da diagonal sem dividir por 2 ao final. Assim, o valor sai o dobro do correto.
Raio-X da questão
distância no espaço, ponto médio, cubo
avaliacao
distância no espaço · ponto médio
Revisar cálculo de distância entre pontos no espaço e ponto médio de segmento.
Confundir a posição do ponto M e calcular a distância de forma incorreta, utilizando a fórmula errada para a distância entre pontos.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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