MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT301Difícil⏱ medio

Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = ca^-kt, em que…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT301

Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = ca^-kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos? [FUVEST 2012 - Questão 68] FUVEST - 2012

A) 10%
B) 5%
C) 4%
D) 3%
E) 2%

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

Na relação m(t) = c·a^(-kt), para t = 0 temos a^0 = 1, logo m(0) = c. Como m(0) = m0, conclui-se que c = m0.
Em 10 anos a massa vira 20% de m0, ou seja, m0·a^(-10k) = 0,2·m0. Dividindo por m0, temos a^(-10k) = 0,2.
Em 20 anos, a massa é m(20) = m0·a^(-20k). Como a^(-20k) = (a^(-10k))^2, temos a^(-20k) = 0,2^2 = 0,04.
Logo m(20) = 0,04·m0, ou seja, 4% de m0. A alternativa correta é a C, e concordo com o gabarito oficial.
A alternativa A (10%) está errada, pois a redução não é linear; a metade de 20% não corresponde ao decaimento exponencial. A alternativa B (5%) está errada, pois 0,2^2 não é 0,2 dividido por 4. A alternativa D (3%) está errada, pois 0,2^2 é exatamente 0,04. A alternativa E (2%) está errada, pois dividir 20% por 10 anos ignora que o decaimento é multiplicativo.

💡 Dica: Use a fórmula dada para encontrar a constante k e calcule a massa após 20 anos.

Alternativa por alternativa

A Erradaerro: Conceituala que mais engana

Supôs que a redução é proporcional ao tempo, de modo que os 20 anos reduziriam a massa pela metade do percentual de 10 anos (20% dividido por 2), o que desconsidera o caráter exponencial do decaimento.

Por que engana: O aluno pode confundir a relação de porcentagem com a taxa de decrescimento, aplicando a fórmula de forma inadequada.

B Erradaerro: Procedimental

Calculou a redução como se 20% fosse dividido por 4, confundindo o dobro do tempo com o quádruplo da taxa; não percebeu que o fator de decaimento se compõe multiplicativamente.

C Correta

CORRETA. A massa se reduz a 4% após 20 anos.

D Erradaerro: Atenção

Errou o cálculo de (0,2)^2, obtendo 0,03 em vez de 0,04, provavelmente por uma multiplicação incorreta das casas decimais.

E Erradaerro: Conceitual

Dividiu o percentual de 20% pelos 10 anos, obtendo 2% por ano, e tomou esse valor como resposta para 20 anos, sem considerar que o decaimento é exponencial e não linear.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade dupla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ calculativa🧩 progressao

🎯 Conceito central

decrescimento exponencial, porcentagem

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

decrescimento exponencial · porcentagem

📚 Reveja

Revisar funções exponenciais e cálculo de porcentagens em decrescimento.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir a relação de porcentagem com a taxa de decrescimento, aplicando a fórmula de forma inadequada.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

tomada_decisao

🏫 Contexto

cientifico

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