No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1,2). Nessas condições, o raio de C vale [FUVEST 2012 - Questão 65] FUVEST - 2012
- A) v5
- B) 2v5
- C) 5
- D) 3v5
- E) 10
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Como a circunferência é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5, esse ponto de tangência é (5, 0). O raio é perpendicular à reta tangente nesse ponto, logo o centro está na vertical x = 5, com coordenadas (5, r), onde r é o raio. Passo 2: Como o ponto (1, 2) pertence à circunferência, sua distância ao centro é igual ao raio. Usando a fórmula da distância ao quadrado: (1 - 5)^2 + (2 - r)^2 = r^2. Passo 3: Desenvolvendo: 16 + (4 - 4r + r^2) = r^2, ou seja, 20 - 4r + r^2 = r^2. Cancelando r^2 dos dois lados, resta 20 = 4r, portanto r = 5. Passo 4: Verificação: o centro é (5, 5) e a distância de (5, 5) a (1, 2) é raiz de (16 + 9) = raiz de 25 = 5, que é igual ao raio. Também é preciso verificar o caso de o centro estar abaixo do eixo Ox, isto é, (5, -r) com r > 0. Nesse caso (1 - 5)^2 + (2 + r)^2 = r^2 leva a 20 + 4r = 0, o que resulta em r = -5, impossível. Logo, a única solução é r = 5. Passo 5: Por isso a alternativa correta é a C, de acordo com o gabarito oficial. As demais estão erradas: A (raiz de 5) e B (2 raiz de 5) surgem de erros na resolução da equação; D (3 raiz de 5) decorre de erro de cálculo na expansão; E (10) corresponde ao diâmetro, e não ao raio.
💡 Dica: Use a condição de tangência para determinar o centro e depois calcule o raio usando o ponto dado.
Alternativa por alternativa
Provavelmente ignorou o termo linear -4r ao expandir (2 - r)^2 e chegou a 20 = 4r^2, o que dá r^2 = 5 e r = raiz de 5.
Por que engana: O aluno pode confundir a distância entre o centro da circunferência e o ponto de tangência com o raio, levando a um cálculo incorreto.
Provavelmente cancelou r^2 de forma incorreta e obteve 20 = r^2, extraindo raiz de 20 = 2 raiz de 5, sem considerar a equação linear em r.
Incorreta. Cálculo incorreto do raio.
Provavelmente errou a soma dos termos numéricos ao desenvolver a equação da distância, chegando a um valor de 45 em vez de 20, e extraiu raiz de 45 = 3 raiz de 5.
Provavelmente confundiu raio com diâmetro, pois o diâmetro da circunferência é 2 vezes o raio, ou seja, 10 quando r = 5.
Raio-X da questão
circunferência, tangência, raio
avaliacao
propriedades da circunferência · coordenadas no plano cartesiano
Revisar propriedades da circunferência e condições de tangência a eixos no plano cartesiano.
O aluno pode confundir a distância entre o centro da circunferência e o ponto de tangência com o raio, levando a um cálculo incorreto.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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