Se x e y são números reais distintos e não nulos, a matriz X = ((x 1), (y 1)) admite inversa X?¹. A soma dos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Propor ou participar de ações adequadas às demandas da região, preferencialmente para sua comunidade, envolvendo medições e cálculos de perímetro, de área, de volume, de capacidade ou de massa.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se x e y são números reais distintos e não nulos, a matriz X = ((x 1), (y 1)) admite inversa X?¹. A soma dos elementos de X?¹ é (UECE 2012)
- A) -2.
- B) -1.
- C) 1.
- D) 2.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- A matriz X = [[x, 1], [y, 1]] tem inversa se, e somente se o determinante for diferente de zero. Calculando, det(X) = x*1 - 1*y = x - y. Como x e y são distintos, x - y é diferente de zero, então a inversa existe. Passo 2: Para uma matriz 2x2 [[a, b], [c, d]] com determinante não nulo, a inversa é (1/det) * [[d, -b], [-c, a]]. Aplicando aos elementos de X: a = x, b = 1, c = y, d = 1. Passo 3: Montando a matriz adjunta, obtemos [[1, -1], [-y, x]]. Logo, X^-1 = (1/(x - y)) * [[1, -1], [-y, x]], ou seja, os elementos de X^-1 são 1/(x - y), -1/(x - y), -y/(x - y) e x/(x - y). Passo 4: Somando todos os elementos: (1 - 1 - y + x)/(x - y) = (x - y)/(x - y) = 1, pois x - y é diferente de zero e pode ser cancelado. Passo 5: Portanto, a soma dos elementos de X^-1 é 1, alternativa C. Por que as outras estão erradas: A) -2 não surge do cálculo correto, pois os termos x e -y se cancelam com o denominador x - y. B) -1 aparece se o determinante for tomado como y - x, o que inverte o sinal da soma. D) 2 surge se apenas os elementos iguais a 1 forem somados, ignorando os demais termos.
💡 Dica: Calcule a inversa da matriz e some seus elementos.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente erra os sinais da matriz adjunta e soma os elementos da diagonal de forma incorreta, obtendo um resultado constante negativo.
O aluno calcula o determinante como y - x em vez de x - y, invertendo o sinal de toda a inversa e, portanto, o sinal da soma final.
CORRETA. A soma dos elementos da matriz inversa X⁻¹ é 1, obtida corretamente pelo cálculo do determinante e aplicação da fórmula da inversa.
O aluno soma apenas os elementos iguais a 1 da matriz inversa (1 + 1 = 2), ignorando o sinal negativo do -1 e os demais termos, que deveriam se cancelar com o denominador.
Raio-X da questão
inversa de matriz 2x2
avaliacao
matriz 2x2 e determinante
estude como calcular a inversa de matrizes 2x2
Confundir a fórmula da inversa ou esquecer de verificar se o determinante é diferente de zero.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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