Considere a função f(x) = 1 - 4x/(x + 1)², a qual está definida para x ? -1. Então, para todo x ? 1 e x ? -1…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere a função f(x) = 1 - 4x/(x + 1)², a qual está definida para x ? -1. Então, para todo x ? 1 e x ? -1, o produto f(x)f(-x) é igual a [FUVEST 2012 - Questão 61] FUVEST - 2012
- A) -1
- B) 1
- C) x + 1
- D) x² + 1
- E) (x - 1)²
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Simplifique f(x). Escrevendo 1 como (x+1)^2/(x+1)^2, temos f(x) = ((x+1)^2 - 4x)/(x+1)^2. Como (x+1)^2 - 4x = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2, obtemos f(x) = (x-1)^2/(x+1)^2. Passo 2: Calcule f(-x). Substituindo x por -x, f(-x) = 1 - 4(-x)/((-x)+1)^2 = 1 + 4x/(1-x)^2. Como (1-x)^2 = (x-1)^2, temos f(-x) = ((x-1)^2 + 4x)/(x-1)^2 = (x^2 + 2x + 1)/(x-1)^2 = (x+1)^2/(x-1)^2. Passo 3: Multiplique os resultados. f(x) f(-x) = [(x-1)^2/(x+1)^2] * [(x+1)^2/(x-1)^2]. Os fatores (x-1)^2 e (x+1)^2 se cancelam, pois x diferente de 1 e x diferente de -1, e o produto vale 1. Passo 4: Conclusão. A alternativa correta é B (1), que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) -1 não pode ser o resultado, pois o produto de dois quadrados não negativos é sempre não negativo; C) x + 1 depende de x, mas o produto é constante; D) x^2 + 1 resulta de expandir (x+1)^2 - 4x de forma incorreta, esquecendo o termo -2x; E) (x-1)^2 é apenas o numerador de f(x), e o denominador esquecido não se cancela sem a outra parte da expressão.
💡 Dica: Substitua x e -x na função e simplifique o produto.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente trocou o sinal ao trabalhar com (1-x)^2, supondo que (1-x)^2 = -(x-1)^2, ou assumiu que f(-x) = -f(x).
Por que engana: Confundir a operação de multiplicação de funções com a adição, resultando em uma expressão incorreta.
CORRETA. O produto f(x)f(-x) simplifica para 1.
O aluno cancelou apenas parte dos termos ou tratou (x-1)^2/(x-1)^2 de forma errada, deixando um fator linear em x como resultado.
O aluno expandiu (x+1)^2 - 4x de forma incompleta, obtendo x^2 + 1 e esquecendo o termo -2x do desenvolvimento.
O aluno obteve o numerador (x-1)^2 e não percebeu que o denominador (x+1)^2 se cancela com o numerador de f(-x), parando o cálculo antes da simplificação final.
Raio-X da questão
função, produto, simplificação algébrica
avaliacao
função e produto · simplificação algébrica
Revisar propriedades de funções e operações algébricas com expressões racionais.
Confundir a operação de multiplicação de funções com a adição, resultando em uma expressão incorreta.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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